莫雷角三分線定理

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Morley triangle.png

欧几里得幾何中,莫雷角三分線定理(Morley's theorem)說明對所有的三角形,其三個内角角三分線,靠近公共边三分線的三個交點,是一個等邊三角形。此定理由法蘭克·莫雷在1899年發現。对外角作外角三分線,也會有类似的性质,可以再作出4個等邊三角形。

此定理有趣的地方是我們沒辦法用尺規作圖作出其等邊三角形,因為已經證明出尺規作圖無法做出三等分角。

證明[编辑]

引理[编辑]

三倍角公式和差公式可得出:

引理證明[编辑]

莫雷角三分線定理證明

定理證明[编辑]

中:

的三等分角
的三等分角
的三等分角

作6條角三分線分別為,作上,且

容易得出,由此等式還可以得出以下三式:

正弦定理可得出:

從這裡可以得出的三個內角,計算出正弦值:

我們知道:

從引理我們可以得出:

化簡後得出:

因為相似,所以可得出:

同理可得出:

綜合以上結果,可得出,因此是等邊三角形

推廣[编辑]

更一般的莫雷角三分線定理由Taylor和Marr於1914年發表,將6條角三分線順時鐘和逆時鐘旋轉120°,其交點共可得出27個不同的等邊三角形。

參見[编辑]

參考資料[编辑]