莱文贝格-马夸特方法

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莱文贝格-马夸特方法(Levenberg–Marquardt algorithm)能提供數非線性最小化(局部最小)的數值解。此演算法能藉由執行時修改參數達到結合高斯-牛顿算法以及梯度下降法的優點,並對兩者之不足作改善(比如高斯-牛顿算法之反矩陣不存在或是初始值離局部極小值太遠)。

問題描述[编辑]

假設 是一個從 的非线性映射,也就是說 , 那麼:

而我們的目的就是希望任意給定一個 以及合理的初始值 ,我們能找到一個 ,使得 盡量小(局部極小),其中

解法[编辑]

像大多數最小化的方法一樣,這是一個迭代的方法。首先根據泰勒展开式我們能把 寫為下面的近似,這有兩個好處:第一是線性、第二是只需要一階微分。

對於每次的迭代我們這麼作:假設這次 iteration 的點是 ,我們要找到一個 最小。 根據投影公式我們知道當下面式子被滿足的時候能有最小誤差:

我們將這個公式略加修改得到:

就是莱文贝格-马夸特方法。如此一來 大的時候這種算法會接近最速下降法,小的時候會接近高斯-牛顿方法。為了確保每次 長度的減少,我們這麼作:先採用一個小的 ,如果 長度變大就增加

這個演算法當以下某些條件達到時結束迭代:

  1. 如果發現 長度變化小於特定的給定值就結束。
  2. 發現 變化小於特定的給定值就結束。
  3. 到達了迭代的上限設定就結束。