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薛丁格繪景

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埃爾溫·薛丁格

薛丁格繪景(Schrödinger picture)是量子力學的一種表述,為紀念物理學者埃爾溫·薛丁格而命名。在薛丁格繪景裏,量子系統的態向量隨著時間流易而演化,而像位置自旋一類的對應於可觀察量算符則與時間無關。

薛丁格繪景與海森堡繪景狄拉克繪景不同。在海森堡繪景裏,對應於可觀察量算符會隨著時間流易而演化,而描述量子系統的態向量則與時間無關。在狄拉克繪景裏,態向量與算符都會隨著時間流易而演化。

這三種繪景殊途同歸,所獲得的結果完全一致。這是必然的,因為它們都是在表達同樣的物理現象。[1]:80-84[2][3]

在薛丁格繪景裏,負責時間演化的算符是一種么正算符,稱為時間演化算符。假設時間從流易到,而經過這段時間間隔,態向量演化為態向量,這時間演化過程以方程式表示為

其中,是時間演化算符。

假設系統的哈密頓量不含時,則時間演化算符為

其中,約化普朗克常數指數函數必須通過其泰勒級數計算。

在初級量子力學教科書裏,時常會使用薛丁格繪景。[4]:第2章第25頁

時間演化算符[编辑]

定義[编辑]

時間演化算符定義為

其中,右矢表示時間為的態向量,是時間演化算符,從時間演化到時間

這方程式可以做這樣解釋:將時間演化算符作用於時間是的態向量,則會得到時間是的態向量

類似地,也可以用左矢來定義:

其中,算符是算符厄米共軛

性質[编辑]

幺正性[编辑]

由於態向量必須滿足歸一條件,態向量的範數不能隨時間而變:[1]:66-69

可是,

所以,時間演化算符必須是幺正算符

 ;

其中,單位算符

單位性[编辑]

時間演化算符必須是單位算符,因為,[1]:66-69

閉包性[编辑]

從初始時間到最後時間的時間演化算符,可以視為從中途時間到最後時間的時間演化算符,乘以從初始時間到中途時間的時間演化算符[1]:66-69

根據時間演化算符的定義,

所以,

可是,再根據定義,

所以,時間演化算符必須滿足閉包性:

時間演化算符的微分方程式[编辑]

為了方便起見,設定,初始時間永遠是,則可忽略時間演化算符的參數,改寫為含時薛丁格方程式[1]:68-73

其中,是哈密頓量。

從時間演化算符的定義式,可以得到

由於可以是任意恆定態向量(處於的態向量),時間演化算符必須遵守方程式

假若哈密頓量不含時,則這方程式的解答為

注意到在時間,時間演化算符必須約化為單位算符。由於是算符,指數函數必須通過其泰勒級數計算:

按照時間演化算符的定義,在時間,態向量為

注意到可以是任意態向量。假設初始態向量是哈密頓量的本徵態,而本徵值,則在時間,態向量為

這樣,可以看到哈密頓量的本徵態是定態,隨著時間的流易,只有相位因子在進行演化。

假設,哈密頓量與時間有關,但在不同時間的哈密頓量相互對易,則時間演化算符可以寫為

假設,哈密頓量與時間有關,而在不同時間的哈密頓量不相互對易,則時間演化算符可以寫為

其中,時間排序算符

必須用戴森級數英语Dyson series來表示,

各種繪景比較摘要[编辑]

為了便利分析,位於下標的符號分別標記海森堡繪景、交互作用繪景、薛丁格繪景。

各種繪景隨著時間流易會呈現出不同的演化:[1]:86-89, 337-339

演化 海森堡繪景 交互作用繪景 薛丁格繪景
右矢 常定
可觀察量 常定
密度算符 常定

參閱[编辑]

參考文獻[编辑]

  1. ^ 1.0 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 Sakurai, J. J.; Napolitano, Jim, Modern Quantum Mechanics 2nd, Addison-Wesley, 2010, ISBN 978-0805382914 
  2. ^ Parker, C.B. McGraw Hill Encyclopaedia of Physics 2nd. Mc Graw Hill. 1994: 786, 1261. ISBN 0-07-051400-3. 
  3. ^ Y. Peleg, R. Pnini, E. Zaarur, E. Hecht. Quantum mechanics. Schuam's outline series 2nd. McGraw Hill. 2010: 70. ISBN 9-780071-623582. 
  4. ^ Robert D. Klauber. Student Friendly Quantum Field Theory: Basic Principles and Quantum Electrodynamics (PDF). Sandtrove Press. 2013. ISBN 978-0-9845139-3-2.