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薛丁格繪景

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埃爾溫·薛丁格

薛丁格繪景(Schrödinger picture)是量子力學的一種表述,為紀念物理學者埃爾溫·薛丁格而命名。在薛丁格繪景裏,量子系統的態向量隨著時間流易而演化,而像位置自旋一類的對應於可觀察量算符則與時間無關。

薛丁格繪景與海森堡繪景狄拉克繪景不同。在海森堡繪景裏,對應於可觀察量算符會隨著時間流易而演化,而描述量子系統的態向量則與時間無關。在狄拉克繪景裏,態向量與算符都會隨著時間流易而演化。

這三種繪景殊途同歸,所獲得的結果完全一致。這是必然的,因為它們都是在表達同樣的物理現象。[1]:80-84[2][3]

在薛丁格繪景裏,負責時間演化的算符是一種么正算符,稱為時間演化算符。假設時間從t_0流易到t,而經過這段時間間隔,態向量|\psi(t_0)\rang演化為態向量|\psi(t)\rang,這時間演化過程以方程式表示為

|\psi(t)\rang = U(t, t_0) |\psi(t_0)\rang

其中,U(t, t_0)是時間演化算符。

假設系統的哈密頓量H不含時,則時間演化算符為

 U(t, t_0) = e^{-iH(t-t_0)/\hbar}

其中,\hbar約化普朗克常數指數函數 e^{-iH(t-t_0)/\hbar}必須通過其泰勒級數計算。

在初級量子力學教科書裏,時常會使用薛丁格繪景。[4]:第2章第25頁

時間演化算符[编辑]

定義[编辑]

時間演化算符U(t,\,t_0)定義為

 | \psi(t) \rang\ \stackrel{def}{=}\  U(t,\,t_0) | \psi(t_0) \rang

其中,右矢| \psi(t) \rang表示時間為t的態向量,U(t,\,t_0)是時間演化算符,從時間t演化到時間t_0

這方程式可以做這樣解釋:將時間演化算符U(t,\,t_0)作用於時間是t_0的態向量| \psi(t_0) \rang,則會得到時間是t的態向量| \psi(t) \rang

類似地,也可以用左矢 \langle \psi|來定義:

 \langle \psi(t) | = \langle \psi(t_0) |U^{\dagger}(t,\,t_0)

其中,算符U^{\dagger}是算符U厄米共軛

性質[编辑]

幺正性[编辑]

由於態向量必須滿足歸一條件,態向量的範數不能隨時間而變:[1]:66-69

 \langle \psi(t)| \psi(t) \rang= \langle \psi(t_0) | \psi(t_0) \rang

可是,

 \langle \psi(t)| \psi(t) \rang = \langle \psi(t_0)|U^{\dagger}(t,\,t_0)U(t,\,t_0)| \psi(t_0) \rang

所以,時間演化算符必須是幺正算符

 U^{\dagger}(t,\,t_0)U(t,\,t_0)=I  ;

其中,I單位算符

單位性[编辑]

時間演化算符U(t_0,\,t_0)必須是單位算符U(t_0,\,t_0)=I,因為,[1]:66-69

 | \psi(t_0) \rang = U(t_0,\,t_0) | \psi(t_0) \rang

閉包性[编辑]

從初始時間 t_0 到最後時間 t 的時間演化算符,可以視為從中途時間 t_1 到最後時間t的時間演化算符,乘以從初始時間 t_0 到中途時間t_1的時間演化算符[1]:66-69

U(t,\,t_0) = U(t,\,t_1)U(t_1,\,t_0)

根據時間演化算符的定義,

 | \psi(t_1) \rang = U(t_1,\,t_0) | \psi(t_0) \rang
 | \psi(t) \rang = U(t,\,t_1) | \psi(t_1) \rang

所以,

 | \psi(t) \rang = U(t,\,t_1)U(t_1,\,t_0) | \psi(t_0) \rang

可是,再根據定義,

 | \psi(t) \rang = U(t,\,t_0) | \psi(t_0) \rang

所以,時間演化算符必須滿足閉包性:

U(t,\,t_0) = U(t,\,t_1)U(t_1,\,t_0)

時間演化算符的微分方程式[编辑]

為了方便起見,設定t_0=0,初始時間 t_0 永遠是0 ,則可忽略時間演化算符的t_0參數,改寫為U(t)含時薛丁格方程式[1]:68-73

 i \hbar {\partial \over \partial t}| \psi (t) \rang = H| \psi (t)\rang

其中,H是哈密頓量。

從時間演化算符的定義式,可以得到

 i \hbar {\partial \over \partial t}U(t) | \psi (0) \rang = HU(t) | \psi (0) \rang

由於|\psi(0) \rang 可以是任意恆定態向量(處於 t=0的態向量),時間演化算符必須遵守方程式

 i \hbar {\partial \over \partial t}U(t) = HU(t)

假若哈密頓量不含時,則這方程式的解答為

 U(t) = e^{-iHt / \hbar}

注意到在時間 t=0,時間演化算符必須約化為單位算符U(0)=I。由於H是算符,指數函數 e^{-iHt}必須通過其泰勒級數計算:

 e^{-iHt / \hbar} = 1 - \frac{iHt}{\hbar} - \frac{1}{2}\left(\frac{Ht}{\hbar}\right)^2 + \cdots

按照時間演化算符的定義,在時間t,態向量為

| \psi(t) \rang = e^{-iHt / \hbar} | \psi(0) \rang

注意到|\psi(0) \rang 可以是任意態向量。假設初始態向量|\psi(0) \rang 是哈密頓量的本徵態,而本徵值E,則在時間t,態向量為

| \psi(t) \rang = e^{-iEt / \hbar} | \psi(0) \rang

這樣,可以看到哈密頓量的本徵態是定態,隨著時間的流易,只有相位因子在進行演化。

假設,哈密頓量與時間有關,但在不同時間的哈密頓量相互對易,則時間演化算符可以寫為

 U(t) = \exp\left({-\frac{i}{\hbar} \int_0^t H(t')\, dt'}\right)

假設,哈密頓量與時間有關,而在不同時間的哈密頓量不相互對易,則時間演化算符可以寫為

 U(t) =T \exp\left({-\frac{i}{\hbar} \int_0^t H(t')\, dt'}\right)

其中,T時間排序算符

必須用戴森級數英语Dyson series來表示,

 U(t) =1+\sum^\infty_{n=1}\left(\frac{-i}{\hbar}\right)^n\int^t_0 dt_1\int^{t_1}_0 dt_2 \dots \int^{t_{n-1}}_0 dt_n H(t_1)H(t_2)\dots H(t_n)

各種繪景比較摘要[编辑]

為了便利分析,位於下標的符號\mathcal{H} \mathcal{I} \mathcal{S}分別標記海森堡繪景、交互作用繪景、薛丁格繪景。

各種繪景隨著時間流易會呈現出不同的演化:[1]:86-89, 337-339

演化 海森堡繪景 交互作用繪景 薛丁格繪景
右矢 常定  | \psi(t) \rang_{\mathcal{I}} = e^{i H_0t/\hbar} | \psi(t) \rang_{\mathcal{S}}  |\psi(t) \rang_{\mathcal{S}}= e^{-iHt/\hbar} | \psi(0) \rang_{\mathcal{S}}
可觀察量 A_{\mathcal{H}}(t)=e^{i Ht/\hbar} A_{\mathcal{S}}e^{-i Ht/\hbar} A_{\mathcal{I}}(t)=e^{i H_0t/\hbar} A_{\mathcal{S}}e^{-i H_0t/\hbar} 常定
密度算符 常定 \rho_{\mathcal{I}}(t)=e^{i H_0t/\hbar} \rho_S (t) e^{-i H_0/\hbar} \rho_{\mathcal{S}}(t)=  e^{-i Ht/\hbar}\rho_{\mathcal{S}}(0) e^{iHt/\hbar}

參閱[编辑]

參考文獻[编辑]

  1. ^ 1.0 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 Sakurai, J. J.; Napolitano, Jim, Modern Quantum Mechanics 2nd, Addison-Wesley, 2010, ISBN 978-0805382914 
  2. ^ Parker, C.B. McGraw Hill Encyclopaedia of Physics 2nd. Mc Graw Hill. 1994: 786, 1261. ISBN 0-07-051400-3. 
  3. ^ Y. Peleg, R. Pnini, E. Zaarur, E. Hecht. Quantum mechanics. Schuam's outline series 2nd. McGraw Hill. 2010: 70. ISBN 9-780071-623582. 
  4. ^ Robert D. Klauber. Student Friendly Quantum Field Theory: Basic Principles and Quantum Electrodynamics (PDF). Sandtrove Press. 2013. ISBN 978-0-9845139-3-2.