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虛功

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粒子的運動軌道與虛軌道分別為。在位置、時間,虛位移為。兩種軌道的初始位置與終止位置分別為

分析力學裏,施加於某物體的作用力,由於給定的虛位移,所做的機械功,稱為虛功英语:virtual work)。以方程式表達,虛功

其中,是作用力,是虛位移。

在這篇文章裏,位移指的是平移運動所造成的位移或旋轉運動所造成的角位移;作用力指的是力量或力矩。虛位移不是實際的位移,而是一種虛構的、理論上的位移,是一種只涉及位置,不涉及時間的變化。每一個虛位移既是自變量independent variable),又是任意設定的。任意性是一個很重要的特性,在數學關係式裏,能夠推導出許多重要的結果。例如,思考下述矩陣方程式:

其中,都是向量方塊矩陣

假若,是個任意非零向量,則可以將任意項目從方程式中除去,得到

虛功原理[编辑]

虛功原理闡明,一個物理系統處於靜態平衡static equilibrium),若且唯若,所有施加的外力,經過符合約束條件的虛位移,所做的虛功的總合等於零[1][2]。以方程式表達,

考慮一個由一群質點組成,呈靜態平衡的物理系統,其內部任意一個質點可能感受到很多個作用力。這些作用力的總和等於零:

給予這質點 虛位移,則合力所做的虛功為零:

總合這系統內做於每一個質點的虛功,其答案也是零:

將合力細分為外力約束力

假設所有約束力所做的符合約束條件的虛功,其總合是零[3]

則約束力項目可以從方程式中除去,從而得到虛功原理的方程式:

注意到這推論裏的約束力假設。在這裏,約束力就是牛頓第三定律反作用力。因此,可以稱此假設為反作用力的虛功假設:所有反作用力所做的符合約束條件的虛功,其總合是零。這是分析力學額外設立的假設,無法從牛頓運動定律推導出來[1]

動力學裏,虛功原理會被推廣為達朗貝爾原理。這原理是拉格朗日力學的理論基礎。更詳盡細節,請參閱相關條目。

適用案例[编辑]

在此特別列出幾個案例,展示出約束力所做的符合約束條件的虛功的總合是零:

  • 剛體的約束條件是一種完整約束,以方程式表達,;其中,剛體內部的質點的位置分別為,它們之間的距離是個常數。所以,兩個質點的虛位移之間的關係為
在這裏,有兩種可能的狀況:
1、
對於這狀況,由於,兩個作用力所做的虛功相互抵銷,也就是說,
所以,約束力所做的虛功的總合是零。
2、 :
由於
所以,約束力所做的虛功的總合是零。
所以,在剛體內,質點與質點之間的約束力所作的虛功的總合是零。
  • 思考置放於平滑地面上的一塊木塊。因為木塊的重量,而產生的反作用力,是地面施加於木塊的一種約束力。注意到對於這案例,符合約束條件的虛位移必須與地面平行,所以,地面施加的約束力垂直於虛位移,它所作的虛功等於零。[3]

在位形空間的意義[编辑]

將一般的作用力和坐標分別變換為以廣義力廣義坐標表達,

設定一個位形空間,其坐標為,其內中表示位置的點稱為位形點。想像這物理系統移動於這位形空間。在這位形空間裏,廣義力垂直於符合約束條件的虛位移

假設,這物理系統沒有任何約束條件,則虛位移可以是任意向量。但是,廣義力不可能垂直於維位形空間裏的每一個向量,所以,廣義力必須等於零。

假設,這物理系統有個約束條件,則自由度為,位形點必需處於位形空間的某子空間,而廣義力必須垂直於這子空間,因此必需使用個運動方程式來表達這物理系統。

保守系統[编辑]

假設這系統是保守系統,則每一個廣義力都是純量廣義位勢函數的對於其對應的廣義坐標的負偏導數

虛功與廣義位勢的關係為

由於位勢的變分等於零,一個靜態平衡系統的位勢乃是個局域平穩值。注意到這系統只處於平穩狀態。假設,要求這系統處於穩定狀態,則位勢必須是個局域極小值

參閱[编辑]

參考文獻[编辑]

  1. ^ 1.0 1.1 Lanczos, Cornelius, The Variational Principles of Mechanics, Dovers Publications, Inc: pp. 74–87, 1970, ISBN 978-0-486-65067-8 
  2. ^ Torby, Bruce, Advanced Dynamics for Engineers, HRW Series in Mechanical Engineering, United States of America: CBS College Publishing: pp. 263, 1984, ISBN 0-03-063366-4 (English) 
  3. ^ 3.0 3.1 Goldstein, Herbert. Classical Mechanics 3rd. Addison Wesley. 1980: pp. 17. ISBN 0201657023 (English). 

外部連結[编辑]

  • 教育部的進修網站的網頁:虛功