虛功

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粒子的運動軌道與虛軌道分別為 x(t)x'(t) 。在位置 x_1 、時間 t_1 ,虛位移為 \delta x 。兩種軌道的初始位置與終止位置分別為 x_0x_2

分析力學裏,施加於某物體的作用力,由於給定的虛位移,所做的機械功,稱為虛功英语virtual work)。以方程式表達,虛功 \delta W

\delta W= \mathbf{F} \cdot \delta \mathbf{r}

其中,\mathbf{F} 是作用力,\delta \mathbf{r} 是虛位移。

在這篇文章裏,位移指的是平移運動所造成的位移或旋轉運動所造成的角位移;作用力指的是力量或力矩。虛位移不是實際的位移,而是一種虛構的、理論上的位移,是一種只涉及位置,不涉及時間的變化。每一個虛位移既是自變量(independent variable),又是任意設定的。任意性是一個很重要的特性,在數學關係式裏,能夠推導出許多重要的結果。例如,思考下述矩陣方程式:

\mathbf{R}^{T} \mathbf{r} = \mathbf{R}^{T} \mathbf{B} \mathbf{q}

其中,\mathbf{R},\ \mathbf{r},\ \mathbf{q} 都是向量\mathbf{B}方塊矩陣

假若,\mathbf{R} 是個任意非零向量,則可以將任意項目 \mathbf{R} 從方程式中除去,得到  \mathbf{r} = \mathbf{B} \mathbf{q}

虛功原理[编辑]

虛功原理闡明,一個物理系統處於靜態平衡static equilibrium),若且唯若,所有施加的外力,經過符合約束條件的虛位移,所做的虛功的總合等於零[1][2]。以方程式表達,

\delta W = \sum_{i} \mathbf{F}_{i}\cdot \delta \mathbf{r}_i = 0

考慮一個由一群質點組成,呈靜態平衡的物理系統,其內部任意一個質點 P_i 可能感受到很多個作用力。這些作用力的總和 \mathbf {F}_{i}^{(T)} 等於零:

\mathbf {F}_{i}^{(T)} = 0

給予這質點 P_i 虛位移 \delta \mathbf r_i ,則合力 \mathbf {F}_{i}^{(T)} 所做的虛功 \delta W_i 為零:

\delta W_i = \mathbf{F}_{i}^{(T)} \cdot \delta \mathbf{r}_i = 0

總合這系統內做於每一個質點的虛功,其答案也是零:

\delta W = \sum_{i}\ \mathbf{F}_{i}^{(T)} \cdot \delta \mathbf{r}_i = 0

將合力細分為外力 \mathbf F_i約束力 \mathbf C_i

\delta W = \sum_{i} \mathbf{F}_{i} \cdot \delta \mathbf{r}_i + \sum_{i} \mathbf {C}_{i} \cdot \delta \mathbf{r}_i = 0

假設所有約束力所做的符合約束條件的虛功,其總合是零[3]

\sum_{i} \mathbf {C}_{i} \cdot \delta \mathbf{r}_i = 0

則約束力項目可以從方程式中除去,從而得到虛功原理的方程式:

\delta W = \sum_{i} \mathbf{F}_{i}\cdot \delta \mathbf{r}_i = 0

注意到這推論裏的約束力假設。在這裏,約束力就是牛頓第三定律反作用力。因此,可以稱此假設為反作用力的虛功假設:所有反作用力所做的符合約束條件的虛功,其總合是零。這是分析力學額外設立的假設,無法從牛頓運動定律推導出來[1]

動力學裏,虛功原理會被推廣為達朗貝爾原理。這原理是拉格朗日力學的理論基礎。更詳盡細節,請參閱相關條目。

適用案例[编辑]

在此特別列出幾個案例,展示出約束力所做的符合約束條件的虛功的總合是零:

  • 剛體的約束條件是一種完整約束,以方程式表達, (\mathbf{r}_i-\mathbf{r}_j)^2=L_{ij}^2 ;其中,剛體內部的質點 P_iP_j 的位置分別為 \mathbf{r}_i\mathbf{r}_j ,它們之間的距離 L_{ij} 是個常數。所以,兩個質點的虛位移 \delta\mathbf{r}_i\delta\mathbf{r}_j 之間的關係為
\delta(\mathbf{r}_i-\mathbf{r}_j)^2=2(\mathbf{r}_i - \mathbf{r}_j)(\delta\mathbf{r}_i - \delta\mathbf{r}_j)=0
在這裏,有兩種可能的狀況:
1、\delta\mathbf{r}_i=\delta\mathbf{r}_j
對於這狀況,由於 \mathbf{C}_{ji}= - \mathbf{C}_{ij} ,兩個作用力所做的虛功相互抵銷,也就是說,
\mathbf{C}_{ij}\cdot\delta\mathbf{r}_i+\mathbf{C}_{ji}\cdot\delta\mathbf{r}_j=0
所以,約束力所做的虛功的總合是零。
2、(\mathbf{r}_i - \mathbf{r}_j)\perp(\delta\mathbf{r}_i - \delta\mathbf{r}_j) :
由於 \mathbf{C}_{ij}\ \|\ \mathbf{C}_{ji}\ \|\ (\mathbf{r}_i-\mathbf{r}_j)
\mathbf{C}_{ij}\cdot\delta\mathbf{r}_i+\mathbf{C}_{ji}\cdot\delta\mathbf{r}_j=\mathbf{C}_{ij}\cdot\delta\mathbf{r}_i - \mathbf{C}_{ij}\cdot\delta\mathbf{r}_j=\mathbf{C}_{ij}\cdot (\delta\mathbf{r}_i - \delta\mathbf{r}_j)=0
所以,約束力所做的虛功的總合是零。
所以,在剛體內,質點與質點之間的約束力所作的虛功的總合是零。
  • 思考置放於平滑地面上的一塊木塊。因為木塊的重量,而產生的反作用力,是地面施加於木塊的一種約束力。注意到對於這案例,符合約束條件的虛位移必須與地面平行,所以,地面施加的約束力垂直於虛位移,它所作的虛功等於零。[3]

在位形空間的意義[编辑]

將一般的作用力和坐標分別變換為以廣義力 \mathcal{F}_i廣義坐標 q_i 表達,

\delta W = \sum_{i} \mathcal{F}_i \delta q_i = 0

設定一個 N位形空間,其坐標為 (q_1,q_2,\dots,q_N) ,其內中表示位置的點稱為位形點。想像這物理系統移動於這位形空間。在這位形空間裏,廣義力 \boldsymbol{\mathcal{F}}=(F_1,F_2,\dots,F_N) 垂直於符合約束條件的虛位移 \delta\mathbf{q}=(\delta q_1,\delta q_2,\dots,\delta q_N)

假設,這物理系統沒有任何約束條件,則虛位移可以是任意向量。但是,廣義力 \boldsymbol{\mathcal{F}} 不可能垂直於 N 維位形空間裏的每一個向量,所以,廣義力 \boldsymbol{\mathcal{F}} 必須等於零。

假設,這物理系統有 L 個約束條件,則自由度為 N - L ,位形點必需處於位形空間的某 N - L子空間,而廣義力 \boldsymbol{\mathcal{F}} 必須垂直於這子空間,因此必需使用 N - L 個運動方程式來表達這物理系統。

保守系統[编辑]

假設這系統是保守系統,則每一個廣義力都是純量廣義位勢函數 V(q_1,q_2,\dots,q_N) 的對於其對應的廣義坐標的負偏導數

F_{i} = - \frac{\partial V}{\partial q_i}

虛功與廣義位勢的關係為

\delta W = \sum_{i}  - \frac{\partial V}{\partial q_i} \delta q_i = - \delta V=0

由於位勢的變分 \delta V 等於零,一個靜態平衡系統的位勢 V 乃是個局域平穩值。注意到這系統只處於平穩狀態。假設,要求這系統處於穩定狀態,則位勢 V 必須是個局域極小值

參閱[编辑]

參考文獻[编辑]

  1. ^ 1.0 1.1 Lanczos, Cornelius, The Variational Principles of Mechanics, Dovers Publications, Inc. 1970:  pp. 74-87, ISBN 978-0-486-65067-8 
  2. ^ Torby, Bruce, Advanced Dynamics for Engineers, HRW Series in Mechanical Engineering, United States of America: CBS College Publishing. 1984:  pp. 263, ISBN 0-03-063366-4 (英文) 
  3. ^ 3.0 3.1 Goldstein, Herbert. Classical Mechanics 3rd. Addison Wesley. 1980: pp. 17. ISBN 0201657023 (English). 

外部鏈結[编辑]

  • 教育部的進修網站的網頁:虛功