虚数

各种各样的數

基本

$\mathbb {N} \subseteq \mathbb {Z} \subseteq \mathbb {Q} \subseteq \mathbb {R} \subseteq \mathbb {C}$ 正數 ${\begin{smallmatrix}\mathbb {R} ^{+}\end{smallmatrix}}$ 自然数 ${\begin{smallmatrix}\mathbb {N} \end{smallmatrix}}$ 正整數 ${\begin{smallmatrix}\mathbb {Z} ^{+}\end{smallmatrix}}$ 小数 有限小数 无限小数 循环小数 有理数 ${\begin{smallmatrix}\mathbb {Q} \end{smallmatrix}}$ 代數數 ${\begin{smallmatrix}\mathbb {A} \end{smallmatrix}}$ 实数 ${\begin{smallmatrix}\mathbb {R} \end{smallmatrix}}$ 複數 ${\begin{smallmatrix}\mathbb {C} \end{smallmatrix}}$ 高斯整數 ${\begin{smallmatrix}\mathbb {Z} [i]\end{smallmatrix}}$ 负数 ${\begin{smallmatrix}\mathbb {R} ^{-}\end{smallmatrix}}$ 整数 ${\begin{smallmatrix}\mathbb {Z} \end{smallmatrix}}$ 负整數 ${\begin{smallmatrix}\mathbb {Z} ^{-}\end{smallmatrix}}$ 分數 單位分數 二进分数 規矩數 無理數 超越數 虚数 二次无理数 艾森斯坦整数 ${\begin{smallmatrix}\mathbb {Z} [\omega ]\end{smallmatrix}}$

延伸

雙複數 四元數 ${\begin{smallmatrix}\mathbb {H} \end{smallmatrix}}$ 共四元數 八元數 ${\begin{smallmatrix}\mathbb {O} \end{smallmatrix}}$ 超數 上超實數 超复数 十六元數 ${\begin{smallmatrix}\mathbb {S} \end{smallmatrix}}$ 複四元數 大實數 超實數 ${\begin{smallmatrix}{}^{\star }\mathbb {R} \end{smallmatrix}}$ 超現實數

其他

对偶数 雙曲複數 序数 質數 ${\begin{smallmatrix}\mathbb {P} \end{smallmatrix}}$ 同餘 可計算數 阿列夫数 公稱值 超限数 基數 P進數 規矩數 整數數列 數學常數 圓周率 ${\begin{smallmatrix}\pi \end{smallmatrix}}$ = 3.141592653… 自然對數的底 ${\begin{smallmatrix}e\end{smallmatrix}}$ = 2.718281828… 虛數單位 ${\begin{smallmatrix}i\end{smallmatrix}}$ = ${\begin{smallmatrix}+{\sqrt {-1}}\end{smallmatrix}}$ 無窮大 ${\begin{smallmatrix}\infty \end{smallmatrix}}$

複數平面的圖示。虛數位於垂直座標軸之上。

虛數，即實數部分為0的複數。“虛數”這個名詞是17世纪著名數學家笛卡爾創製，因為當時的觀念認為在真實世界中這是虛構或毫無用處的數字。後來在歐拉和高斯的研究之後，後來發現虛數可對應平面上的縱軸，與對應平面上橫軸的實數同樣真實。虛數軸和實數軸構成的平面稱複數平面，複平面上每一點對應着一個複數。

每一個虛數可表達為bi，其中b是實係數，虛數bi的平方是−b²。例如，5i是一個虛數，其平方為−25。0被認為既是實數也是虛數。虛數單位$i\,$ 的定义是：

$i^{2}=-1\,$

或者

$i=+{\sqrt {-1}}\,$

$i$ 稱為虛數單位。在電子學及相關領域內，$i$ 通常表達電流，故改為以 $j$ 表示虛數單位。每個複數可唯一地寫成一個實數及一個虛數的和。

... 虛數的高次方會不斷地如下循環)

i−3 = i

i−2 = −1

i−1 = −i

i0 = 1

i1 = i

i2 = −1

i3 = −i

i4 = 1

i5 = i

i6 = −1

in = in(mod 4)

$i$ 的高次方會不斷作以下的循環：

$i^{0}=1\,$

$i^{1}=i\,$

$i^{2}=-1\,$

$i^{3}=-i\,$

$i^{4}=1\,$

$i^{5}=i\,$

$i^{6}=-1\,$

$i^{7}=-i\,$

則:

$i^{4k+1}=i\,$

$i^{4k+2}=-1\,$

$i^{4k+3}=-i\,$

$i^{4k}=1\,$

其中k為正整數。

幾何詮釋

複數平面上乘以虛數單位表示旋轉九十度

在幾何學上，複數平面的垂直軸表示虛數，它們與代表實數的水平軸垂直。查看虛數的方法之一是參考慮標準數線：往右側正幅度增長，往左側則負幅度減少。在x-軸的0點處，往上升方向可繪製y-軸的“正”虛數，然後向上增加；而“負”虛數則往下增加。這個垂直軸通常被稱為“虛數軸”，並被表示為iℝ，$\scriptstyle \mathbb {I}$，或ℑ。

在該呈現圖示中，乘以–1對應於以原點為中心180度的旋轉。i的乘法對應於“逆時針”方向的90度旋轉，而方程式i² = −1可被解釋為，如果我們對原點應用兩個90度旋轉，則終了結果是單一個180度旋轉。注意，“順時針”方向的90度旋轉也滿足這種解釋。這反映了−i也解出了方程x² = −1。一般來說，乘以複數與以複數幅角圍繞原點的旋轉相同，然後按其大小進行縮放。

負數的平方根

我們應該將根號視為求 $x^{2}$ 的解，故將一個數開根號後會有兩個合理的值，此二值互相差一個負號。在將正數開根號時，這兩個值一為正數一為負數，故習慣上直接將根號對應到正值，而負值的解以根號前加負號來表示。但對其它的數而言開根號沒有自然的對應，${\sqrt {-1}}$ 實際上代表的是兩個數，分別為 $+i$ 及 $-i$。但若直接將 ${\sqrt {-1}}$ 對應到$+i$，而 $-{\sqrt {-1}}$ 對應到 $-i$ 也未嘗不可。

筆記

不同的虛數都是不能比較大小的：$1<2\,$ 成立，但$1+i<2+i\,$和$i<2i\,$ 卻均不成立。

舉例：假設$i>0\,$

平方得$i^{2}>0\,$

得$-1>0\,$即可看出矛盾。

再舉例：假設$i<0\,$

平方得$i^{2}>0\,$(要變號)

得$-1>0\,$即可看出矛盾。

因此虛數及複數(含i)不能比較大小。

由於虛數特殊的運算規則，出現了下列算式

$i^{1}+i^{2}+i^{3}+i^{4}=0\,$

這也暗示了$i\,$ 為方程 $x+x^{2}+x^{3}+x^{4}=0\,$ 的根，另三個根分別為 $-i,-1\,$ 及$0\,$ 。

由於虛數特殊的運算規則，出現了符號

$\omega ^{2}+\omega +1=0\,$

$\omega ^{3}=1\,$ 的簡式。

如果再將這個概念擴展開去，就可以組成四元數（Quaternion）、八元數（Octonion）等特殊數學範疇。

參看

• 四元數
• 八元數

参考资料

• 虛數i的介紹
• $i^{7321}\,$的計算方法舉例
• i作為-1的平方根