虚数

维基百科,自由的百科全书
(重定向自虛數
跳到导航 跳到搜索
各种各样的
基本

NumberSetinC.svg

正數
自然数
正整數
小数
有限小数
无限小数
循环小数
有理数
代數數
实数
複數
高斯整數

负数
整数
负整數
分數
單位分數
二进分数
規矩數
無理數
超越數
虚数
二次无理数
艾森斯坦整数

延伸

雙曲複數
雙複數
四元數
共四元數英语Dual quaternion
八元數
超數
上超實數

超复数
十六元數
複四元數
大實數
超實數
超現實數

其他

对偶数
序数
質數
同餘
可計算數
整數數列
數學常數

公稱值
超限数
基數
P進數
規矩數
可定義數
阿列夫數

圓周率
自然對數的底
虛數單位
無窮大

虛數是指實數以外的複數,其中實部為0的虛數稱為純虛數。而英文imaginary number的另一種定義是可以写作实数虚数单位乘积的数[1],以此定義,0可視為同時是實數也是虛數[2]

17世纪著名數學家笛卡爾所著《幾何學》(法语:La Géométrie)一書中,命名其為nombre imaginaire(虛構的數),成為了虛數imaginary number)一詞的由來。

後來在歐拉高斯的研究之後,後來發現虛數可對應平面上的縱軸,與對應平面上橫軸的實數同樣真實。虛數軸和實數軸構成的平面稱複數平面,複數平面上每一點對應着一個複數

複數平面的圖示。虛數位於垂直座標軸之上。

幾何詮釋[编辑]

複數平面上乘以虛數單位表示旋轉九十度

在幾何學上,複數平面的垂直軸表示虛數,它們與代表實數的水平軸垂直。查看虛數的方法之一是參考慮標準數線:往右側正幅度增長,往左側則負幅度減少。在x軸的0點處,往上升方向可繪製y軸的“正”虛數,然後向上增加;而“負”虛數則往下增加。這個垂直軸通常被稱為“虛數軸”,並被表示為,或

在該呈現圖示中,乘以–1對應於以原點為中心180度的旋轉。的乘法對應於“逆時針”方向的90度旋轉,而方程式可被解釋為,如果我們對原點應用兩個90度旋轉,則終了結果是單一個180度旋轉。注意,“順時針”方向的90度旋轉也滿足這種解釋。這反映了也解出了方程。一般來說,乘以複數與以複數幅角圍繞原點的旋轉相同,然後按其大小進行縮放。

負數的平方根[编辑]

我們應該將根號視為求的解,故將一個數開根號後會有兩個合理的值,此二值互相差一個負號。在將正數開根號時,這兩個值一為正數一為負數,故習慣上直接將根號對應到正值,而負值的解以根號前加負號來表示。但對其它的數而言開根號沒有自然的對應,實際上代表的是兩個數,分別為。但若直接將對應到,而對應到也未嘗不可。

筆記[编辑]

不同的虛數都是不能比較大小的:成立,但卻均不成立。

舉例:假設

平方得

即可看出矛盾。

再舉例:假設

平方得(要變號

即可看出矛盾。

因此虛數及複數(含)不能比較大小。


由於虛數特殊的運算規則,出現了下列算式

這也暗示了方程的根,另三個根分別為

由於虛數特殊的運算規則,出現了符號

的簡式。

如果再將這個概念擴展開去,就可以組成四元數(Quaternion)、八元數(Octonion)等特殊數學範疇。

參見[编辑]

参考资料[编辑]

  1. ^ Uno Ingard, K. Chapter 2. Fundamentals of waves & oscillations. Cambridge University Press. 1988: 38. ISBN 0-521-33957-X. 
  2. ^ Sinha, K.C. A Text Book of Mathematics XI. Rastogi Publications. : 11.2. ISBN 8171339123. 

外部链接[编辑]