# 蚌线

“蚌线”也常特指原曲线为直线的蚌线，即尼科美迪斯蚌线[5]是古希腊数学家，他利用这种蚌线来解决古希腊数学三大难题中的两个——三等分角倍立方体[6]

## 尼科美迪斯蚌线

### 性质

• ${\displaystyle b 时，蚌线内支没有尖点或结点，极点与内支不相交。
• ${\displaystyle a=b}$ 时，蚌线内支有一个尖点，尖点与极点重合。
• ${\displaystyle b>a}$ 时，蚌线内支有一个结点，结点与极点重合。

### 历史和应用

17世纪的大数学家艾萨克·牛顿认为蚌线是仅次于直线和圆的、定义第三简洁的曲线，并利用蚌线构造出多种三次平面曲线。但及至当代，蚌线变得很少被数学家研究和关注。[8][9]

#### 倍立方体

${\displaystyle CF=x}$ 。显然 ${\displaystyle x}$ 是正实数

${\displaystyle {\sqrt {x^{2}-1}}={{\sqrt {3}} \over x+1}}$
${\displaystyle (x^{2}-1)(x+1)^{2}=3}$
${\displaystyle x^{4}+2x^{3}-2x-4=0}$
${\displaystyle (x+2)(x^{3}-2)=0}$
${\displaystyle x^{3}-2=0}$
${\displaystyle x={\sqrt[{3}]{2}}}$

${\displaystyle AB}$ 中点 ${\displaystyle M}$，连接 ${\displaystyle MC}$
${\displaystyle AD\cdot BD=(MD-MA)\cdot (MD+MB)}$
${\displaystyle AD\cdot BD+MA^{2}=MD^{2}}$
${\displaystyle AD\cdot BD+MA^{2}+MC^{2}=MD^{2}+MC^{2}}$
${\displaystyle AD\cdot BD+AC^{2}=CD^{2}}$
${\displaystyle \triangle KBD\sim \triangle KGH\sim \triangle HAD}$
${\displaystyle KG:GH=HA:AD}$
${\displaystyle \because GH=GL,\ AH=2AB=AE}$
${\displaystyle \therefore KG:GL=AE:AD=FC:FD}$
${\displaystyle \because FD=AB=GL}$
${\displaystyle \therefore KG=FC}$
${\displaystyle KL=KG+GL=FC+FD=CD}$
${\displaystyle KL^{2}=CD^{2}}$
${\displaystyle KL^{2}=(KL+GL)\cdot (KL-GL)+GL^{2}}$
${\displaystyle KL^{2}=KB\cdot KG+GL^{2}}$
${\displaystyle CD^{2}=AD\cdot BD+AC^{2}}$
${\displaystyle \therefore KB\cdot KG+GL^{2}=AD\cdot BD+AC^{2}}$
${\displaystyle KB\cdot KG=AD\cdot BD}$
${\displaystyle AD:KG=KB:BD=KG:GH=HA:AD}$
${\displaystyle HA:AD=AD:KG=KG:GH}$
${\displaystyle HA=2GH}$
${\displaystyle \therefore KG={\sqrt[{3}]{2}}GH}$ [7]

#### 三等分角

${\displaystyle OC}$${\displaystyle AB}$ 的交点 ${\displaystyle D}$ 。取 ${\displaystyle CD}$ 的中点 ${\displaystyle E}$ ，连接 ${\displaystyle BE}$

${\displaystyle \angle AOD={1 \over 3}\angle AOB}$[7]

### 解析几何

${\displaystyle l:\ \rho =a{\sec \theta }}$
${\displaystyle c:\ \rho =a{\sec \theta }\pm b}$
${\displaystyle (-{\pi \over 2}<\theta <{\pi \over 2}\ ,\ a,b\in \mathbb {R} ^{+})}$

${\displaystyle l:\ x=a}$
${\displaystyle c:\ (x-a)^{2}(x^{2}+y^{2})=b^{2}x^{2}}$
${\displaystyle (a,b\in \mathbb {R} ^{+})}$

${\displaystyle {\begin{cases}x=a\pm b\cos \theta \\y=a\tan \theta \pm b\sin \theta \end{cases}}}$
（上下正负号同号，${\displaystyle -{\pi \over 2}<\theta <{\pi \over 2}\ ,\ a,b\in \mathbb {R} ^{+}}$

## 参考来源

1. . 摆线. 越民义 (译). 哈尔滨: 哈尔滨工业大学出版社. 2019: 53-60. ISBN 978-7-5603-5834-5.
2. 霍华德·伊夫斯英语Howard Eves. 数学史概论. 第6版. 欧阳峰 (译). 哈尔滨: 哈尔滨工业大学出版社. 2009: 126.
3. 姜康甫; 吉星. 几何画的原理和作法. 上海: 上海科学技术出版社. 1964: 289-293.
4. ; . 数学手册. 罗零, 石峥嵘 (译). 北京: 高等教育出版社. 1965: 90-91.
5. 高希尧. 数学术语详解词典. 西安: 陕西科学技术出版社. 1991: 20-21. ISBN 7-5369-0738-9.
6. 莫里斯·克莱因. 古今数学思想 第1册. 张理京, 张锦炎, 江泽涵 (译). 上海: 上海科学技术出版社. 2014: 95-96. ISBN 978-7-5478-1717-9.
7. . A History of Greek Mathematics: Volume I, From Thales to Euclid. Oxford: Clarendon Press. 1921: 238-240, 260-262 （英语）.
8. ^

Chisholm, Hugh (编). Conchoid. Encyclopædia Britannica 6 (第11版). London: Cambridge University Press: 826–827. 1911 （英语）.
9. ^ . 不可能的几何挑战 数学求索两千年. 姜喆 (译). 北京: 人民邮电出版社. 2022: 176-179. ISBN 978-7-115-57370-4.