表示式

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表示式亦称表達式或數學表達式,在數學領域中是一些符號依據上下文的規則,有限而定義良好的組合。數學符號可用於標定數字(常量)、變量、操作、函數、括號、標點符號和分組,幫助確定操作順序以及有其它考量的邏輯語法。

範例[编辑]

表達式的使用範圍從簡單的如下列各例:

  (線性多項式)
  (二次多項式)
  (有理分數)

到很複雜的組合表達式:


各種表達式的分類列表[编辑]

數學表達式的各種形式包括了算術、多項式、代數、閉合形式和解析的表達式。下表列出了這些種類中所可能包含的元素。


語法與語義[编辑]

語法[编辑]

表達式是一個句法結構,它必須具有良好定義的形式。表達式中的運算符必須在正確位置有正確的輸入數,組成這些輸入的字符必須是有效的,具有明確的運算次序等。違反語法規則的字符,不會構成有效的數學表達式。例如,在一般算術符號中,表達式1 + 2 × 3是形式良好的,但下面的表達式卻沒有:

.

語義[编辑]

表達式的語義是對語句意義的研究,邏輯語義學是關於所傳達的意義。在代數中,可用表達式指定一個值;而這個結果值取決於對式中變量所賦予的值,經由附加語義的運算符操作後以確定該值。語義的選擇則根據表達式的上下文。同一個表達式1 + 2 × 3可能會有不同結果(依算數慣例的結果為7,也可能是9),這取決於上下文中隱含的運算次序。

語義規則可以聲明某些表達式並無指定值(例如,當它們除以0時);對這表達式稱為未定義,但它們仍然以良好的形式表現出來。廣義來說,表達式的意義並不侷限於指定值;例如,表達式可用於指定條件,表示要被求解的方程,或將其視為可根據某些規則而操作的對象。有指定值的表達式同時也代表了有假設前提,例如與運算符有關的假設前提,會指定一個內部的直接和(direct sum)。

形式語言和lambda演算[编辑]

表示式和其賦值曾在1930年代由阿隆佐·邱奇Stephen Kleene在其演算中被公式化。演算對現代數學和電腦程式語言的發展都曾有過重大的影響。

演算有著一個更有趣的推論,在某些情況之下,兩個表示式的等值與否是無法決定的。而且這個推論在任一和演算有同樣功用的系統內也都是成立的。

變量[编辑]

許多數學表達式中包括變量,變量又區分為自由變量或約束變量兩種。對於自由變量賦值的一給定組合,進行對表達式的評估,然而這些賦值的某些組合在評估整句表達式後的結果,可能沒有定義。因此一個表達式表示一個函數,其輸入是賦予自由變量的值,其輸出是表達式的結果值。

舉例來說,表示式,分別使自由變數定值為,其輸出為數字
但注意在值為時,則這表示式沒有定義


數學表達式的評估取決於上下文背景對式中運算符的定義,賦值的定义域和評估結果的域。如果兩個表達式之中的變量,對於它們賦值的每一種組合都產生相同的輸出,則這兩個表達式被認定為相等,即它們實為相同的函數。

例如,表示式有自由變數、約束變數、常數、兩個內含的乘法算符和一個總和算符。
此一表示式和另一較簡單的表示式相等。時的值為

參見[编辑]

外部連結[编辑]

  • Axiomatic Theory of Formulas - theory of expressions on high abstraction level.
  • Plot mathematical expressions this system plots math equations, graphs, diagrams, and even animated cartoons of transformation of math expressions and arithmetic operations. Knowledge of TeX not required.