角平分线长公式

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數學中,角平分線長公式是已知三角形三條邊的長度時計算內角平分線長度的公式。在三角形中, 若將角A的角平分線記為, 且將a分為, 角B的角平分線記為, 且將b分為, 角C的角平分線記為, 且將c分為, 那麼它們長度可用如下公式計算:

公式1:

,
,
,

其中的是半周长。

公式2:

(維基好難編輯,我懶得寫2的證明了)

推導[编辑]

三角形ABC以及關於角B的平分線

如右圖,設BE為ABC中角B的平分線,交邊AC于E,則ABE=EBC,BE=。下面證明角平分線長


首先,°(互為鄰補角),因此有 =

根據正弦定理,在三角形ABE中,,即。同樣地,在三角形BCE中,,也就是。 另一方面,,並且,因此得到。 注意到,代入上式,消去之後就可得到

接下來,在三角形BCE中,根據餘弦定理,有:

....(1)
然而 ,把以及的表達式代入(1)式中,得到

化簡之後就可以得到角平分線長公式:

設s為半周長, 即,則可以將公式寫成

同理,可證得其他兩式。

參見[编辑]