調和分析

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光的調和分析。圖中是紅光和其他波長光線的相互作用。若波長差為λ/2(半波長),紅光完全的和二次諧波紫光同相位。圖中所有其他的光和紅光的波長差都小於λ/2,因此合成波中會出現諧波振盪。若波長差是λ/14,每14個週期都會出現一次振盪。若波長差是λ/8,每8個週期都會出現一次振盪。振盪在λ/4波長差時最為頻繁,每4個週期出現一次振盪,若波長差為λ/3,每7個週期出現一次振盪。若波長差為λ/2.5,每13個週期出現一次振盪。

調和分析(Harmonic analysis)也稱為諧波分析,是數學中的一個分支,是由基本叠加來表示其他函数或是信號,並且研究及擴展傅里叶级数傅里叶变换(也是傅里叶分析的擴展)。自十九世紀以來,調和分析已用在許多的領域中,像是信號處理量子力學潮汐理論英语Theory of tides神经科学

Rn以下的經典傅里叶变换目前仍然是一個正在研究的領域,特別是將傅里叶变换應用在一些較廣義的概念下,例如缓增广义函数(tempered distribution)。例如若在某一分佈f上加上一些條件,也會試圖將此條件轉換到f的傅里叶变换上。培力-威納定理英语Paley–Wiener theorem即為此例。培力-威納定理指出若f是一個緊支撐下的非零分布(這裡包括緊支撐下的函數),則其傅里叶变换一定不會是緊支撐。這是調和分析不确定性原理的一個基本形式。

調和分析中的調和(harmonic,或稱為諧波)起源自古希臘文harmonikos,意思是「有音樂上的技巧」[1]。在物理的特徵值問題中,開始用harmonic一詞表示某些特定的波,其頻率是其他波頻率的整數倍,就像泛音列的頻率是第一泛音的整數倍一様,後來這個詞也漸漸擴展,超過原來的意思。

傅里叶级数也常用希尔伯特空间的方式來進行研究,因此調和分析和泛函分析也有一些關係。

抽象調和分析[编辑]

調和分析中最現代的一個分支,是在二十世紀中出現的,是對拓扑群分析。其核心概念是許多不同的傅里叶变换,可以擴展為定義在豪斯多夫局部緊緻群英语locally compact group上的函數變換。

阿贝尔局部緊緻群英语locally compact group的調和分析稱為龐特里亞金對偶性

調和分析研究對偶性和傅里叶变换的性質,設法將其性質延伸到不同的情形下(例如非阿贝尔的李群)。

對於一般性非阿贝尔的局部緊緻群,調和分析和么正表現理論有密切關係。若是緊緻群,彼得-魏尔定理可以解釋在每一個等價表現中,要如何選擇不可約表現來得到調和函數。調和函數的選擇可以用到一些傳統傅里叶变换的特性,例如用單點的乘積來進行卷積,或是對於其底層的結構有更多的認識。可參考非交換調和分析英语Non-commutative harmonic analysis

若此群不是阿贝尔群,也不是緊緻群,目前還沒有找到令人滿意(至少要像普蘭切雷爾定理英语Plancherel theorem一樣有力)的理論。不過目前已分析了許多特例,例如SLn英语Special linear group。在此例中,無限維度群表示論扮演了重要角色。

其他分支[编辑]

相關條目[编辑]

參考資料[编辑]

  1. ^ 存档副本. [2017-01-07]. (原始内容存档于2017-03-14). 
  2. ^ Terras, Audrey. Harmonic Analysis on Symmetric Spaces-Euclidean Space, the Sphere, and the Poincaré Upper Half-Plane 2nd. New York, NY: Springer. 2013: 37 [12 December 2017]. ISBN 978-1461479710.