調和數

维基百科,自由的百科全书
跳转至: 导航搜索

調和數可以指跟約數和有關的整數歐爾調和數。在數學上,第n個調和數是首n個正整數的倒數和,即

它也等于这些自然数的调和平均值的倒数的倍。它可以推廣到正整數的倒數的之和,即

調和級數的性質[编辑]

根據定義,調和數滿足遞推關係

它也滿足恆等式

計算[编辑]

對於第n項調和數,有以下公式

設:,由此得到


對於調和數,當n不是太大時,可以直接計算。

當n特別大時,可以進行估算。

因為

由此得到

當n越大時,估算越精確。

更精確的估算是

其中是第k項伯努利數


廣義調和數[编辑]

廣義調和數滿足

由此,我們得到

對於任意兩個正整數p和q,並且p<q,我們有

微積分[编辑]

對於每一個大於0的x,有

由此,得

對於每一個n,有

其他數列[编辑]

根據定義,其他類似于調和數的數列有以下計算方法: