證明22/7大於π

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人們經常使用這個有理數作為圓周率π 的丢番圖逼近。在 π 的連分數表達中,是它的一個漸近分數。從這兩個數字的小數形式可見是大於 π 的:

這個近似值從古代就有人使用。縱使阿基米德並非這個近似值的始創者,但他就證明了高估了圓周率。他以大於外切正96邊形的周界:該圓直徑之比作證明。

這個近似值常被稱為「約率[1],除這以外,常用的近似值還有同是由祖沖之在5世紀提出的密率

以下是另一個 > π的證明,所用到的只是微積分的基本技巧。它本來只是用於顯示可以用有系統的方法計算π的值,而非證明大於π。它比起一些基本證明更容易理解[2]。它的優雅是由於它和丟番圖近似值的關連。路卡斯稱這條公式為「其中一個估計π值的最美麗結果」[3]Havil以這個結果作爲一個有關以連分數估計的討論之結尾,說它在該範疇是「不得不提及」的[4]

概念[编辑]

故此227 > π。

詳情[编辑]

被積函數是一個分數,其分子和分母皆是非負函數,所以該積分是正數。由於被積函數是正數,由0至1的定積分也大於0。

以下就證明該積分實際上與227的關係:

展開分子的數項
多項式長除法
定積分
把結果代入1和0,然後相減。注意:arctan(1) = π/4
加數

布肯南數學比賽中的出現[编辑]

求取這積分的值是1968年布肯南數學比賽的第一個題目[5]

A-1. 证明

上限和下限[编辑]

達賽爾(1944)指出,只要把1代入分母中的x,可輕易取得積分的下限;把0代入分母中的x,可取得積分的上限[6]

結果得出

也許這是計算π值至小數後3位的最快和最基本的方法。另參見達賽爾(1971)[7].

參考資料[编辑]

  1. ^ 韩雪涛. 数学科普:常识性谬误流传令人忧. 中华读书报. 2001年8月29日 [2006年10月6日]. 
    雖然它又被為「疏率」,但有數學家指出這名稱不適合。
  2. ^ 比較愛德華·梅特蘭·賴特高德菲·哈羅德·哈代,第22章中的質數定理的基本證明
    (1938)《數論介紹》第5版,美國牛津大學出版社(1980年4月17日)ISBN 978-0-19-853171-5
  3. ^ Lucas, Stephen. "Integral proofs that 355/113 > π", Australian Mathematical Society Gazette32冊,4號,263–266頁
    這著作開首便道這是「其中一個估計π值的最美麗結果」。
  4. ^ Havil, Julian. Gamma: Exploring Euler's Constant. Princeton University Press. 2003: 96頁. ISBN 978-0-691-09983-5. 
  5. ^ edited by Gerald L. Alexanderson, Leonard F. Klosinski, Loren C. Larson (编). The Twenty-Ninth William Lowell Putnam Mathematical Competition: December 7, 1968. The William Lowell Putnam Mathematical Competition problems and solutions: 1965-1984. Washington, DC: The Mathematical Association of America. 1985: p. 9. ISBN 978-0-88385-441-9. 
  6. ^ 達賽爾, D. P. (1944). "On 22/7", Journal of the London Mathematical Society 19, 133–134頁
  7. ^ Dalzell, D. P. (1971). "On 22/7 and 355/113", Eureka; the Archimedeans' Journal, 34冊, pages 10–13頁.

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相關條目[编辑]

外部連結[编辑]