譜序列

维基百科,自由的百科全书
跳转至: 导航搜索

同調代數中,譜序列是一種藉著逐步逼近以計算同調或上同調群的技術,由讓·勒雷在1946年首創。其應用見諸代數拓撲群上同調同倫理論

動機[编辑]

讓·勒雷當初為了研究代數拓撲學,而引入的概念,從而面臨計算層上同調的問題。為此,勒雷發明了現稱勒雷譜序列的計算方法,它聯繫了一個層的上同調群與其正像的上同調群。

人們很快就發現:勒雷譜序列只是一個特例。譜序列還現身於纖維化等幾何問題;更抽象地說,對合成函子取導函子也會得到譜序列,稱為格羅滕迪克譜序列。雖然導範疇在理論層面提供了較簡鍊的框架,譜序列仍是最有效的計算工具。

由於譜序列包含大量的項,實際計算時往往會陷入帶(至少)三重指標的的迷陣。在許多實際狀況中,譜序列最後會「塌陷」,此時譜序列可以給出明確的資訊。若譜序列不塌陷,則須靠一些竅門取得有用的資訊。

形式定義[编辑]

以下固定一個阿貝爾範疇 ,常見例子是一個環上的範疇。譜序列是一個非負整數 及下述資料:

  • 對所有整數 ,有範疇中的一個對象
  • 自同態 ,滿足 ,稱為邊界映射微分
  • 的同構。

通常省去 的同構,而寫成等式。

最基本的例子是鏈複形 ,它帶有一個微分 。取 ,並令 ,於是必有 ;這個新鏈複形上的微分只有一個自然的選擇,就是零映射。於是有 。綜之,我們得到一個鏈複形範疇上的譜序列:

由於只有 時微分映射才可能非零,此序列在第一步後就不含任何新資訊。

較常見的是雙分次模(或層)範疇上的譜序列,表作 ,此時的微分映射次數與 有關:對於上同調譜序列, 的次數是 。對於同調譜序列,通常將各項寫成 ,微分映射 的次數是

譜序列之間的態射 定義為一族態射 ,使之與同構 交換。譜序列對此構成了一個阿貝爾範疇。

正合偶[编辑]

交換代數中大部分的譜序列來自鏈複形,而已知構造譜序列最有力的方法是 William Massey 的正合偶。正合偶在代數拓撲學中很常見,此時對於許多譜序列,正合偶是唯一已知的構造法。事實上,正合偶可以用來構造所有已知的譜序列。

同樣固定一個阿貝爾範疇(通常取一個環上的雙分次模),一個正合偶是:

Exact couple.png
  • 一對對象
  • 三個態射:

使之滿足下述正合條件:

  • Image f = Kernel g
  • Image g = Kernel h
  • Image h = Kernel f

將這組資料簡記為 。正合偶通常以三角形表示。 對應到譜序列的 項,而 是一些輔助資料。

為了得到譜序列的後續項,以下將構造導出偶。令:

  • 導出。
  • 定義如下:若 為某個環上的範疇,對任一 ,存在 使得 ,定義 中的像。一般而言,可利用 Mitchell 嵌入定理構造態射

現在可以驗證 構成正合偶。 對應到譜序列的 項。續行此法,可以得到一族正合偶 。相應的譜序列定義為

圖解[编辑]

譜序列的 E2

一個雙分次譜序列含有大量要追蹤的資訊,不過有個常見的圖解法有助於闡明其結構。以下取上同調譜序列為例。在此有三個指標 。對每個 ,設想有一張方格紙,分別讓 對應於橫、縱軸。每一個格子點 對應到對象 。微分 的次數為 ,方向如圖所示。

收斂與退化[编辑]

在第一個簡單的例子中,譜序列在 後的微分映射皆為零,故不再改變。這時可定義該譜序列的極限。對於一般的譜序列,也往往存在一個極限,極限與各項的關係可說是譜序列的眾妙之門。

定義:若譜序列 對每個 都存在 ,使得當 時, 皆為零,則稱 極限項(取充分大的 )。最常見的例子是集中在第一象限的譜序列,此時極限項恆存在。

其中的指標 指涉過濾結構。

若存在對象 、過濾結構 ,及一族同構 ,滿足 (這種過濾稱為「正則過濾」),則稱 收斂,通常表為下述符號:

習慣上,人們也常將左式寫成 ,因為譜序列中最重要的頁往往是

最簡單的收斂特例是退化

定義:固定 ,若對每個 ,微分映射 都是零,則稱該譜序列在第 頁退化。

退化性保證了 ,此時 即其極限。如果一個雙分次譜序列 的非零項集中於某一條水平或垂直線上,則必在 時退化。

例子[编辑]

過濾結構導出的譜序列[编辑]

最常見的譜序列之一來自帶有過濾結構的對象,通常是鏈複形或上鏈複形。這是一個對象 及微分映射 ,使之滿足 ,以及

同調群上也有相應的過濾

對此,定義相應的分次對象

取微分映射為零,可視之為複形。

以下式定義譜序列:

此時有 ,且譜序列收斂:

通常也寫成

為取值在某個阿貝爾範疇中的上鏈複形範疇。此時的對象 是個上鏈複形 是上鏈複形的微分映射。上述譜序列帶有三個指標 ,並可進一步化成下述形式:

雙複形的譜序列[编辑]

以下考慮取值在某個阿貝爾範疇中的雙複形,即一組對象 ,及兩組微分映射 ,滿足

對一個雙複形,可定義其全複形 (也記為 ) 為

上有兩組過濾,分別是:

它們給出兩個譜序列 。首先計算 項:

(即:先取縱向上同調,再取橫向上同調)

同理可計算

(即:先取橫向上同調,再取縱向上同調)。

這兩個譜序列通常是不同的,但隨著 增大,它們都收斂到 ,由此可以得到一些有趣的比較定理。

例子[编辑]

Tor函子的交換性[编辑]

利用譜序列,可以迅速導出Tor函子的交換性,即一自然同構:

取定平坦分解 。視之為集中於正項的複形,其微分映射分別記為 。考慮雙複形 ,其微分映射定義為 (以使微分映射滿足反交換性)。取其譜序列,遂得到:

由於複形 是平坦分解,其同調群只集中在零次項,此時其表示式為:

只在 上有非零項,而 只在 上有非零項,這保證了譜序列在第二頁退化,由此導出同構:

時,上述等式的右項同構(雖然其分次結構不同),由此得到 Tor 的交換性。

示性數[编辑]

運用譜序列時,通常會假設某些項為零,或假設譜序列在第一或第二頁退化。但有時儘管對各項及微分映射一無所知,仍可從譜序列中萃取資訊,最簡單的例子是示性數:固定一個阿貝爾範疇 及一個交換群 ,所謂示性數是一個函數 ,滿足:

例如:取 為某個域 上的有限維向量空間範疇,則 是一個示性數。

對任一 上的有限複形 ,定義

容易證明 。考慮任一在 上的收斂譜序列 ,由於譜序列的每一頁都是前一頁的同調,遂得到

然而

於是得到


參考資料[编辑]

歷史文獻[编辑]

  • Leray, Jean. L'anneau d'homologie d'une représentation. C. R. Acad. Sci. Paris. 1946, 222: 1366––1368. 
  • Leray, Jean. Structure de l'anneau d'homologie d'une représentation. C. R. Acad. Sci. Paris. 1946, 222: 1419––1422. 
  • Koszul, Jean-Louis. Sur les opérateurs de dérivation dans un anneau. C. R. Acad. Sci. Paris. 1947, 225: 217––219. 
  • Massey, William S. Exact couples in algebraic topology. I, II. Ann. of Math. (2nd series). 1952, 56: 363––396. 
  • Massey, William S. Exact couples in algebraic topology. III, IV, V. Ann. of Math. (2nd series). 1953, 57: 248––286. 

當代文獻[编辑]