變分法基本引理

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數學裏,特別是在變分法裏,變分法基本引理fundamental lemma of calculus of variations)是一種專門用來變換問題表述的引理,可以將問題從弱版表述weak formulation)(變分形式)改變為強版表述(微分形式)。

敘述[编辑]

C^k 代表k阶导数连续(k阶光滑)的函数空间, C^\infty 代表无限光滑的函数空间。

變分法基本引理:

f(x)\in C^\infty [a,\ b]\,\!

若任意 h(x)\in C^\infty [a,\ b]\,\! 滿足下列兩式

 \int_a^b f(x) \, h(x) \, dx = 0 \,\!
h(a)=h(b)=0\,\!

\mbox{∀}x\in(a,\ b):f(x) = 0\,\!

證明[编辑]

f(x)\in C^\infty [a,\ b]\,\!


r(x)\,\! 滿足下列兩個條件:

r(a)=r(b)=0\,\!

\mbox{∀}x\in(a,\ b) :r(x)>0\,\!


因為只要存在一個滿足條件的 h(x) 使得 f(x) = 0,那麼不論有沒有其他同樣滿足條件的 h(x),此結果f(x) = 0都會為真,因此我們只須證明其中一個特例。

所以可令 h(x) = r(x) f(x)\,\!。這就是一個特例


h(x) = r(x) f(x)\,\! 可得到

0 = \int_a^b f(x) h(x) \; dx = \int_a^b r(x) f(x)^2 \; dx\,\!

因為 r(x)\,\!(a,\ b)\,\! 是正值,所以f(x)\,\! 必須恆等於 0 。

\mbox{∀}x\in(a,\ b):f(x) = 0\,\!

應用[编辑]

這引理可用來證明泛函

 J[f(t,y,\dot y)] = \int_{x_0}^{x_1} f(t,y,\dot y) \, dt \,\!

極值歐拉-拉格朗日方程式

 {d \over dt} \left({\partial f(t,y,\dot y) \over \partial \dot y}\right) - {\partial f(t,y,\dot y) \over \partial y} = 0\,\!

的弱解。

歐拉-拉格朗日方程式在經典力學微分幾何佔有重要的角色。

參閱[编辑]

參考文獻[编辑]

  • Leitmann, George. The Calculus of Variations and Optimal Control: An Introduction. Springer. 1981. ISBN 0306407078.