刘益 (数学家)

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刘益,11世纪北宋数学家,生卒年无考,河北中山府人;又称为“中山刘先生”。著有《议古根源》一书二百问;南宋数学家杨辉在《杨辉算法》高度评价刘益在数学上的贡献:“刘益以勾股之术,治演段锁方,撰《议古根源》二百问。带益隅开方实冠前古[1]

杨辉在《杨辉算法》一书中多次引用《议古根源》。直到明代程大位的《算法统宗》还提到《议古根源》这部算书;但从此以后失传。所幸《杨辉算法》多处引用《议古根源》,从这些片断,可知刘益对数学的贡献有三个方面:截积术、演段术和带从开方正负损益法[2]


截积术[编辑]

Yanghuisuanfa-118.jpg

从平面几何图形截取一段已知面积,求截取面积有关的线段长度。 “圆田一段直径十三步,今从边截积三十二步;问:所截弦矢各几步?答数弦十二步矢四步

刘益得到下列方程

Counting rod h4.pngCounting rod 0.pngCounting rod h9.pngCounting rod v6.png
Counting rod 0.png 方法
Counting rod v1.pngCounting rod h2.pngCounting rod v8.png 上廉
Counting rod h5.pngCounting rod v2.png 下廉
Counting rod v5.png 负隅


即四次方程:

演段术[编辑]

刘益演段图

刘益《议古根源》一书今已失传,但在南宋数学家杨辉的著作中还保留《议古根源》演段术的片段[3]杨辉《田亩比类乘除捷法》卷下:中山刘先生序谓算之术入则诸门出则直田;《议古根源》故立演段百问,盖欲演算之片断也,知片断则能穷根源。

第六问:直田积八百六十四步,只云长阔共六十步,问长多阔几何?

答曰十二步。

演段曰:和自乘有四段直田积一段差方积,所以用四积减和方余得差方一段,卻取方面。

长阔差的平方 =
所以 长阔差 = 12

带从开方正负损益法[编辑]

刘益将贾宪的改进成为解含任意系数的高次方程的方法 例:解下列四次方程

以4为商(矢)

Counting rod v4.png
Counting rod h4.pngCounting rod 0.pngCounting rod h9.pngCounting rod v6.png
Counting rod 0.png 方法
Counting rod v1.pngCounting rod h2.pngCounting rod v8.png 上廉
Counting rod h5.pngCounting rod v2.png 下廉
Counting rod v5.png 负隅

程序: 1)上商乘负隅并入下廉得三十二

Counting rod v4.png
Counting rod h4.pngCounting rod 0.pngCounting rod h9.pngCounting rod v6.png
Counting rod 0.png 方法
Counting rod v1.pngCounting rod h2.pngCounting rod v8.png 上廉
Counting rod h3.pngCounting rod v2.png 下廉
Counting rod v5.png 负隅


2) 以商四乘下廉三十二的一百二十八入上廉共二百五十六

Counting rod v4.png
Counting rod h4.pngCounting rod 0.pngCounting rod h9.pngCounting rod v6.png
Counting rod 0.png 方法
Counting rod v2.pngCounting rod h5.pngCounting rod v6.png 上廉
Counting rod h3.pngCounting rod v2.png 下廉
Counting rod v5.png 负隅

3) 又已上商乘上廉得一千二十四为方法

Counting rod v4.png
Counting rod h4.pngCounting rod 0.pngCounting rod h9.pngCounting rod v6.png
Counting rod v1.pngCounting rod 0.pngCounting rod h2.pngCounting rod v4.png 方法
Counting rod v2.pngCounting rod h5.pngCounting rod v6.png 上廉
Counting rod h3.pngCounting rod v2.png 下廉
Counting rod v5.png 负隅

4) 以上商四乘一千二十四得四千九十六与实相消为零

Counting rod v4.png
Counting rod 0.png
Counting rod v1.pngCounting rod 0.pngCounting rod h2.pngCounting rod v4.png 方法
Counting rod v2.pngCounting rod h5.pngCounting rod v6.png 上廉
Counting rod h3.pngCounting rod v2.png 下廉
Counting rod v5.png 负隅

得矢=4

評價[编辑]

數學史家錢寶琮說:“宋時已能建立含負係數的四次方程,並能數值求解[4]

参考文献[编辑]

  1. ^ 宋 杨辉 《杨辉算法 乘除变通本末 》第236页 辽宁教育出版社 ISBN 7538247394
  2. ^ 吴文俊主编 《中国数学史大系》 第五卷 第二编 北宋时代 刘益 41-51页
  3. ^ 吴文俊主编 《中国数学史大系》 第五卷 第二编 北宋时代 刘益演段术 46页
  4. ^ 錢寶琮 《中國數學史》上篇