调和平均数

调和平均数（Harmonic Mean）是求一组数值的平均数的方法中的一种，一般是在計算平均速率時使用。

调和平均数是將數值個數除以數值倒數的總和，一組正數x₁, x₂ ... x_n的调和平均数H其计算公式为：

$H={\frac {n}{{\frac {1}{x_{1}}}+{\frac {1}{x_{2}}}+...+{\frac {1}{x_{n}}}}}.$$H={\frac {n}{{\frac {1}{x_{1}}}+{\frac {1}{x_{2}}}+...+{\frac {1}{x_{n}}}}}.$

或者

$H={\frac {n}{\sum _{i=1}^{n}{\frac {1}{x_{i}}}}}$$H={\frac {n}{\sum _{{i=1}}^{n}{\frac {1}{x_{i}}}}}$

二數的調和平均數

最常用的是二個正數值x₁, x₂的調和平均數H：

$H={\frac {2}{{\frac {1}{x_{1}}}+{\frac {1}{x_{2}}}}}={\frac {2x_{1}x_{2}}{x_{1}+x_{2}}}$$H={\frac {2}{{\frac {1}{x_{1}}}+{\frac {1}{x_{2}}}}}={\frac {2x_{1}x_{2}}{x_{1}+x_{2}}}$

這種情形下，調和平均數H和兩數的算術平均數A,

$A={\frac {{x_{1}}+{x_{2}}}{2}},$$A={\frac {{x_{1}}+{x_{2}}}{2}},$

及幾何平均數G,

$G={\sqrt {{x_{1}}\cdot {x_{2}}}},$$G={\sqrt {{x_{1}}\cdot {x_{2}}}},$

有以下的關係。

$H={\frac {G^{2}}{A}}.$$H={\frac {G^{2}}{A}}.$

应用

调和平均数可以用在相同距离但速度不同时，平均速度的计算；如一段路程，前半段时速60公里，后半段时速30公里〔两段距离相等〕，则其平均速度为两者的调和平均数40公里。

另外，两个电阻R₁, R₂并联后的等效电阻R_eq：

$R_{eq}={\frac {R_{1}R_{2}}{R_{1}+R_{2}}}$$R_{{eq}}={\frac {R_{1}R_{2}}{R_{1}+R_{2}}}$

恰为两电阻调和平均数的一半。

物理學中的減縮質量為調和平均數的一半

$\mu ={\frac {m_{1}m_{2}}{m_{1}+m_{2}}}$$\mu ={\frac {m_{1}m_{2}}{m_{1}+m_{2}}}$

参见

• 算术平均数
• 几何平均数
• 平方平均数
• 算术-几何平均数
• 几何-调和平均数