谱半径

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數學上,矩阵有界線性算子谱半径(spectral radius)是其特徵值絕對值中的最大值(也就是矩阵的谱中元素絕對值中的最小上界),會表示為ρ(·)。

矩陣[编辑]

λ1, ..., λn是矩陣ACn×n中的特徵值,則其谱半径 ρ(A) is 定義為:

条件数可以用譜半徑表示,公式為

譜半徑是矩陣所有範數的一種下确界(infimum)。另一方面,對每一個矩陣範數 都成立,Gelfand公式指出。不過,針對任意向量,譜半徑不一定會滿足。若要說明原因,可以令為任意數,考慮矩陣特徵多項式,因此其特徵值為,且。不過,因此,其中上的任何範數。至於可以當時,讓的原因是,因此當時,使

針對所有

成立的條件是埃尔米特矩阵欧几里得範數

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有限的谱半径定義為其邻接矩阵的谱半径。

此一定義可以擴散到無限圖,但是其每個頂點都只連接有限個頂點(存在一實數C使得每一個頂點的都小於C)。此情形下,針對圖G可定義:

γG的邻接算子:

G的谱半径定義為有界線性算子γ的谱半径。

上界[编辑]

矩陣譜半徑的上界[编辑]

以下的命題指出了一個簡單但是有用的矩陣譜半徑上界:

命題:令ACn×n,其譜半徑為ρ(A),以及相容(Consistent)矩陣範數 ||⋅||。則針對每一個整數:

證明

(v, λ)為矩陣A的特徵值-特徵向量對。利用矩陣範數的次可乘性(sub-multiplicative property),可得:

因為v ≠ 0,可得

因此

圖譜半徑的上界[编辑]

有關n個頂點,m個邊的圖,有許多的譜半徑的上界公式。例如,若

其中為整數,則[1]

乘幂數列[编辑]

定理[编辑]

谱半径和矩陣乘幂數列是否收斂有緊密的關係。以下的定理會成立:

定理:令ACn×n,其譜半徑ρ(A)。則ρ(A) < 1若且唯若
另一方面,若ρ(A) > 1, 。上述敘述針對Cn×n上的任何矩陣範數都有效。

定理證明[编辑]

假設問題中的極限值為零,可以證明ρ(A) < 1。令(v, λ)A特征值和特征向量對。因為Akv = λkv可得:

因為假設v ≠ 0,會得到

表示|λ| < 1。因為這對任何一個特征值都會成立,因此可知ρ(A) < 1。

接下來假設A的譜半徑小於1。根據若尔当标准型定理,可以知道針對所有的ACn×n,存在V, JCn×n以及非奇異的VJ分塊對角矩陣使得:

其中

因此可得

因為J是分塊對角矩陣

若尔当方塊矩陣k次方可以得到,針對

因此,若,則針對所有的i都會成立。因此針對所有的i,可得:

這也表示

因此

另一方面,若,當k增加時,在J中至少有一個元素無法維持有界,因此證明了定理的第二部份。

Gelfand公式[编辑]

定理[编辑]

以下的定理可以用[矩陣範數的極限來計算T谱半径

定理(Gelfand公式,1941年):令任何矩陣範數 ||⋅||,,可得
[2].

證明[编辑]

令任意ε > 0,先建構以下二個矩陣:

則:

先將之前的定理應用到A+:

這表示,根據級數極限定理,一定存在N+N使得針對所有的k ≥ N+,下式都成立

因此

將之前的定理用在A,表示無界,一定存在NN使得針對所有的k ≥ N,下式都成立

因此

N = max{N+, N},,可得:

因此,依定義,可得下式

舉例[编辑]

考慮以下矩陣

其中的特徵值為5, 10, 10。依照定義,ρ(A) = 10。在以下的表中,會以四個最常用的矩陣範式,在k增加時,計算(注意,因為此矩陣特殊的形式,):

k
1 14 15.362291496 10.681145748
2 12.649110641 12.328294348 10.595665162
3 11.934831919 11.532450664 10.500980846
4 11.501633169 11.151002986 10.418165779
5 11.216043151 10.921242235 10.351918183
10 10.604944422 10.455910430 10.183690042
11 10.548677680 10.413702213 10.166990229
12 10.501921835 10.378620930 10.153031596
20 10.298254399 10.225504447 10.091577411
30 10.197860892 10.149776921 10.060958900
40 10.148031640 10.112123681 10.045684426
50 10.118251035 10.089598820 10.036530875
100 10.058951752 10.044699508 10.018248786
200 10.029432562 10.022324834 10.009120234
300 10.019612095 10.014877690 10.006079232
400 10.014705469 10.011156194 10.004559078
1000 10.005879594 10.004460985 10.001823382
2000 10.002939365 10.002230244 10.000911649
3000 10.001959481 10.001486774 10.000607757
10000 10.000587804 10.000446009 10.000182323
20000 10.000293898 10.000223002 10.000091161
30000 10.000195931 10.000148667 10.000060774
100000 10.000058779 10.000044600 10.000018232

有界線性算子[编辑]

針對有界線性算子 A算子范数 ||·||,可以得到

(複數希爾伯特空間上的)有界算子若其谱半径等於數值半徑英语numerical radius,可以稱為「譜算子」(spectraloid operator)。其中一個例子是正规算子

相關條目[编辑]

註解[编辑]

  1. ^ Guo, Ji-Ming; Wang, Zhi-Wen; Li, Xin. Sharp upper bounds of the spectral radius of a graph. Discrete Mathematics. 2019, 342 (9): 2559–2563. doi:10.1016/j.disc.2019.05.017 (英语). 
  2. ^ 此公式在任何Banach幾何下都成立。參考Dunford & Schwartz 1963的Lemma IX.1.8,以及Lax 2002,第195–197頁

參考資料[编辑]

  • Dunford, Nelson; Schwartz, Jacob, Linear operators II. Spectral Theory: Self Adjoint Operators in Hilbert Space, Interscience Publishers, Inc., 1963 
  • Lax, Peter D., Functional Analysis, Wiley-Interscience, 2002, ISBN 0-471-55604-1