谱 (泛函分析)

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数学中,特别是在泛函分析中,有界算子矩阵特征值集合的推广。具体来说,复数λ被认为属于有界线性算子T的谱中,如果λI-T可逆,其中I恒等算子。谱和相关性质的研究被称为谱理论,其具有许多应用,最值得注意的是量子力学数学表述

有限维向量空间上的算子的谱就是特征值的集合。然而,无限维空间上的算子在谱中可能有其他元素,并且可能没有特征值。例如,考虑希尔伯特空间2上的右移算子R

该算子没有特征值,因为如果Rxx,则通过展开表达式可以得到x1=0,x2=0……另一方面,0在谱中,因为算子R-0(即R自身)不可逆:因为第一项非零的任意向量不在它的值域中,所以它不是满射。事实上,巴拿赫空间上的每个有界线性算子都必有非空谱。

谱的概念可以扩展到稠定无界算子。在这种情况下,复数λ被认为是在算子T:DX(其中DX中稠密)的谱中,如果没有有界逆(λI-T)−1:XD。如果T是闭算子(包括T是有界算子的情形),逆的有界性可由逆的存在性直接得到。

巴拿赫空间X上的有界线性算子B(X)是有单位的巴拿赫代数的一个例子。由于除了任何这样的代数都具有的性质之外,谱的定义没有涉及B(X)的任何性质,所以谱的概念可以在此逐字地使用相同的定义推广。

有界算子的谱[编辑]

定义[编辑]

作用在巴拿赫空间上的是标量域上的有界线性算子,且上的恒等算子是所有使得算子没有有界线性逆的的集合。

由于是一个线性算子,所以如果它的逆存在,则一定是线性的;并且,通过有界逆定理可知,它的逆是有界的。 因此,谱正好由那些使得不是双射的标量组成。

给定算子的谱通常记为,而它的补集,也即预解集,记为

谱和特征值[编辑]

如果的特征值,则算子不是一一映射,因此其逆没有定义。但否命题是不对的:即使不是特征值,算子可能也没有逆。因此,算子的谱总是包含其所有特征值,但却不限于此。

例如考虑希尔伯特空间,它由所有双向无限实数序列

构成,这些序列须满足平方和有限。双向移位算子简单地将序列的每个元素移动一个位置;即如果则对所有整数。特征值方程在该空间中无解,因为如果有解则意味着所有拥有相同的绝对值(如果 )或者是等比数列(如果 );无论哪种情形,它们的平方和都不可能有限。然而,算子时不可逆。例如满足的序列属于 ;但是不存在中的序列使得(即对所有)。

基本性质[编辑]

有界算子T的谱总是复平面非空有界子集。

如果谱是空的,那么预解函数

在复杂平面上处处有定义且有界。但可以证明,预解函数R在其定义域是全纯的。通过向量值情形的刘维尔定理可知这个函数是常数。因为它在无穷远处为零,所以恒为零。产生矛盾。

谱的有界性由关于λ诺伊曼级数展开得出;频谱σ(T)有界||T||。类似的,可以证出谱是闭集。

谱的界||T||可以稍作改进。T谱半径r(T)是复平面上最小的包含谱σ(T)以原点为圆心的圆的半径,即

谱半径公式指出,[1]对于巴拿赫代数的任何元素T

算子谱点分类[编辑]

巴拿赫空间上的有界算子T可逆(即有有界逆),当且仅当T有正下界且值域稠密。 因此,T的谱可以分为以下部分:

  1. 如果λI-T没有正下界,则λ∈σ(T)。特别地,这包含λI-T不是单射即λ是特征值的情形。特征值集合被称为T点谱,记为σp(T)。 另一情形,λI-T是一一映射但没有正下界。这样的λ不是特征值,而是T的近似特征值(特征值本身也是近似特征值)。近似特征值集合(包含点谱)被称为T近似点谱,记为σap(T)。
  2. 如果λI-T值域不稠密,则λ∈σ(T)。这样的λ的集合被称为压缩谱,记为σcp(T)。它的子集,使得λI-T值域不稠密但是单射的λ的集合,被称为T剩余谱,记为σr(T)。

注意到近似点谱和剩余谱不一定不相交(但点谱和剩余谱不相交)。

以下小节提供了关于上述σ(T)分类的更多细节。

点谱[编辑]

如果一个算子不是单射(因此有某个非零的x满足T(x)=0),那它显然是不可逆的。 因此,如果λ是T特征值,则必有λ∈σ(T)。T的特征值集合被称为T点谱,记为σp(T)。

近似点谱[编辑]

更一般地,T如果没有正下界,则不可逆; 也就是说,不存在c>0满足||Tx||≥c||x||对所有 xX 。因此,谱包括近似特征值集合,即使得 TI  没有正下界的λ; 等价地,它是满足如下条件的λ的集合,存在单位向量x1, x2, ...使得

近似特征值集合被称为近似点谱,记为σap(T)

容易看出特征值属于近似点谱。

例子 考虑l2(Z)上双向移位算子T定义如下

其中ˆ表示第零个位置。直接计算可知T没有特征值,但满足|λ|=1的每个λ都是近似特征值;令xn表示向量

则对所有n有||xn||=1,但

由于T是酉算子,所以它的谱位于单位圆上。 因此T的近似点谱是其整个谱。 这对于更一般的一类算子也是正确的。

酉算子是正规的。由谱定理可知,希尔伯特空间H上的有界算子是正规的,当且仅当其等价于(将H等价为L^2空间)乘法算子。 可以证出,有界乘法算子的谱与它的近似点谱相等。

剩余谱[编辑]

算子可以是单射甚至有正下界,但不可逆。l 2(N)上的单向移位算子就是一例。这个移位算子是一个等距同构,因此下界为1。但是它不可逆,因为它不是满射。满足λI-T是单射但值域不稠密的λ的集合被称为剩余谱,记为σr(T)

连续谱[编辑]

满足λI-T是单射且值域稠密但不是满射的λ的集合,被称为T连续谱,记为σc(T)。 因此,连续谱由那些不是特征值且不在剩余谱中的近似特征值构成。即

边缘谱[编辑]

算子的边缘谱是其谱中模等于其谱半径的点的集合。

例子[编辑]

氢原子提供了这种分解的例子。氢原子哈密顿算子的特征函数被称为本征态,并被分为两类。 氢原子的束缚态对应于谱的离散部分(它们具有离散的特征值集合,可由里德伯公式计算得到),而电离过程的最终结果由连续部分描述(碰撞/电离的能量不是“量子化的”)。

进一步结果[编辑]

如果T是一个紧算子,则可以证明谱中任意非零λ是特征值。 换句话说,这种算子的谱,被定义为特征值概念的推广,在这种情形下仅包括通常的特征值和0(可能有)。

如果X希尔伯特空间T正规算子,则有被称为谱定理的显着结果,给出了正规有限维算子的对角化定理的类比(例如埃尔米特矩阵)。

无界算子的谱[编辑]

可以推广谱的定义用于巴拿赫空间X上的无界算子,这些算子不再是巴拿赫代数B(X)中的元素。 推广类似于有界情形。 复数λ被称为在预解集中,即线性算子T

的谱的补集,如果算子

有有界逆,即如果存在有界算子

使得

如果该性质不满足,则复数λ在中。 可以以与有界情形完全相同的方式来对谱进行分类。

无界算子的谱通常是复平面的闭子集,可能为空集。

对于预解集中的λ(即不在谱中),与有界情形相同,λI-T 必须是双射,因为它必须有双边逆。 如前所述,如果逆存在,则其线性直接可得,但一般来说,它可能无界,因此必须单独检验该条件。

然而如果引入了T闭算子的附加假设,由闭图像定理可知,逆的有界性可由其存在性直接得到。 因此,与有界情情形相同,复数λ位于闭算子T的谱中,当且仅当λI-T不是双射。 注意到闭算子包括所有有界算子。

通过其谱测度,可以定义任何自伴算子的谱分解,有界或其他类型分解为绝对连续、纯点和奇异部分。

有单位的巴拿赫代数的谱[编辑]

B为包含单位e的复巴拿赫代数。我们定义B的元素x的谱σ(x)(或更明确地σB(x))为使λe-xB中不可逆的那些复数λ的集合。这推广了巴拿赫空间X上有界线性算子B(X)的谱的定义,因为B(X)是一个巴拿赫代数。

参见[编辑]

参考文献[编辑]

  1. ^ Theorem 3.3.3 of Kadison & Ringrose, 1983, Fundamentals of the Theory of Operator Algebras, Vol.