貝蒂數

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代數拓撲學中,拓撲空間貝蒂數 是一族重要的不變量,取值為非負整數或無窮大。直觀地看,連通成份之個數, 是沿著閉曲線剪開空間而保持連通的最大剪裁次數。更高次的 可藉同調群定義。

「貝蒂數」一詞首先由龐加萊使用,以義大利數學家恩里科·貝蒂命名。

定義[编辑]

空間 的第 個貝蒂數( 為非負整數)定義為

上式的同調群可以任意為係數。

例子[编辑]

  • 圓環 的貝蒂數依次為
  • 二維環面的貝蒂數依次為
  • 三維環面的貝蒂數依次為
  • 一般而言, 維環面的貝蒂數由二項式係數給出,此命題可透過下節敘述的性質證明。
  • 無窮維空間可以有無窮多個非零的貝蒂數,例如無窮維複射影空間 的貝蒂數依次為 (週期為二)。

性質[编辑]

閉曲面的第一個貝蒂數描述了曲面上的「洞」數。環面;一般而言,閉曲面的 等於「洞」或「把手」個數之兩倍。可定向緊閉曲面可由其 完全分類。

有限單純複形CW複形的貝蒂數有限。當 大於複形維度時,

對於有限 CW 複形,定義其龐加萊多項式為貝蒂數的生成函數

對於任意 ,有

對於 -維可定向閉流形 龐加萊對偶定理給出貝蒂數的對稱性

貝蒂數與微分形式[编辑]

微分幾何微分拓撲中,所論的空間 通常是閉流形,此時拓撲不變量 可以由源自流形微分結構的微分形式計算。具體言之,考慮複形

其中 次微分形式構成的向量空間,外微分。則

這是德拉姆上同調理論的簡單推論。

德拉姆上同調的不便之處,在於它考慮的是微分形式的等價類,其間可差一個 之元素。設流形 具有黎曼度量,則可以定義微分形式的「長度」。我們若嘗試以變分法在等價類中找最短元素,透過形式計算可知存在唯一最短元素 ,且為調和形式,在此拉普拉斯算子 依賴於流形的度量,在局部座標系下可表為橢圓偏微分算子。這套想法催生的霍奇理論在複幾何中扮演關鍵角色。

文獻[编辑]

  • F.W. Warner, Foundations of differentiable manifolds and Lie groups, Springer (1983).
  • J.Roe, Elliptic Operators, Topology, and Asymptotic Methods, Second Edition (Research Notes in Mathematics Series 395), Chapman and Hall (1998).