賦值向量環

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數論中,賦值向量環阿代爾環法文:adèle,英譯多用原文)是由一個 的所有完備化構成的拓撲環 ,原域 可以對角方式嵌入其中。

在現代代數數論中,賦值向量環是處理整體問題的基本語言。

法文原文 adèleidèle additif 的縮寫,其中 idèle 意指理想元(élément idéal)。adèle 也是法文中常見的女性名字。

定義[编辑]

整體域,例如有理數、一般的數域函數域 等等。設 為其中的代數整數環。對於所有 上的賦值 (又稱),可定義相應的完備化 。在此,通常將賦值分為有限與無限兩類:

  • 有限賦值:一一對應於 素理想,兩兩不相等價。其中的賦值環記為
  • 無限賦值 上的阿基米德賦值。對於數域,無限賦值係由域的嵌入 給出,兩個嵌入 給出等價賦值的充要條件是其間至多差一個複共軛:。無限賦值的個數有限。

有時也以素理想的慣用符號 表示賦值,並以 表示 為無窮賦值。

定義

上式的積稱為限制積,這是 的子環,我們要求對其中的每個元素 ,存在包含所有無窮賦值的有限集 ,使得 。賦予 相應的子空間拓撲,是為賦值向量環

的拓撲由在 點的一組局部基確定,可取下述形式之開集:

其中 是函括所有無限賦值的有限集, 的開子集。根據Тихонов定理可知 局部緊拓撲環,這是採限制積定義的原因之一。

性質[编辑]

  • 對角嵌入 的像落在 ,可證明 構成 的離散子集,而商群 是緊群。
  • 固定 的任一特徵標 ,則任何特徵標 皆可唯一地表示成 ,是故加法群 是其自身的對偶群。這是在賦值向量環上開展調和分析的關鍵之一。

應用[编辑]

賦值向量環主要用於代數數論中。對於 上的代數群 ,可考慮其上的 。由於代數群總是線性的(換言之,可嵌入 ), 可以具體設想為係數佈於環 上的線性群,並帶有自然的拓撲結構。

最簡單的情形是 ,此時 稱為 idèle 群,這是整體類域論的基石。在郎蘭茲綱領中,須考慮更廣泛的代數群,以描述數域絕對伽羅瓦群

文獻[编辑]