賦環空間

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賦環空間在數學上係指一個拓撲空間配上一個交換環層,其中特別重要的一類是局部賦環空間。此概念在現代的代數幾何學佔重要角色。

定義[编辑]

  • 一個賦環空間是一組資料(X, \mathcal{O}_X),其中X為一拓撲空間而\mathcal{O}_X是其上的交換環層。
  • \mathcal{O}_X在每一點的都是局部環,則稱之局部賦環空間

全體賦環空間構成一個範疇(X, \mathcal{O}_X)(Y, \mathcal{O}_Y)態射是一組(f, f^\sharp),其中f: X \rightarrow Y是連續映射,f^\sharp: \mathcal{O}_Y \rightarrow f_* \mathcal{O}_X是環層的態射( f_* \mathcal{O}_X定義為V \mapsto \mathcal{O}_X(f^{-1}(V)))。

局部賦環空間亦成一範疇,其態射除上述要求外,還須滿足:對每一點x \in Xf^\sharp在莖上誘導的自然態射f_x^\sharp: \mathcal{O}_{Y, f(x)} \rightarrow \mathcal{O}_{X,x}必須是局部的(若(A,\mathfrak{m}),  (B,\mathfrak{n})是局部環,環同態\phi: A \rightarrow B滿足\phi^{-1}(\mathfrak{m}) = \mathfrak{n},則稱φ為局部的)。

例子[编辑]

  • X為任一拓撲空間,\mathcal{O}_X : U \mapsto C(U)C(U)表 U 上的連續函數),則(X, \mathcal{O}_X) 成一局部賦環空間:\mathcal{O}_{X,x}的唯一極大理想由在x消沒的函數構成。拓撲空間之間的連續映射誘導出局部賦環空間的態射,反之亦然。
  • 上述例子中的X可代以微分流形複流形,並將\mathcal{O}_X(U)代以U上的光滑函數或全純函數。
  • 交換環譜(\mathrm{A},\mathcal{O}_A)。給定環同態\phi: A \rightarrow B,φ誘導出局部賦環空間的態射(f, f^\sharp);反之任一態射皆由環同態給出。

為了刻劃這些態射,局部的條件在此不可或缺,它可被視為X\mathcal{O}_X之間的聯繫;例如,若不要求局部性,則交換環譜的態射不一定由環同態給出——儘管從古典角度看這是必然的。