賦環空間

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賦環空間在數學上係指一個拓撲空間配上一個交換環層,其中特別重要的一類是局部賦環空間。此概念在現代的代數幾何學佔重要角色。

定義[编辑]

  • 一個賦環空間是一組資料,其中為一拓撲空間而是其上的交換環層。
  • 在每一點的都是局部環,則稱之局部賦環空間

全體賦環空間構成一個範疇態射是一組,其中是連續映射,是環層的態射( 定義為)。

局部賦環空間亦成一範疇,其態射除上述要求外,還須滿足:對每一點在莖上誘導的自然態射必須是局部的(若是局部環,環同態滿足,則稱φ為局部的)。

例子[编辑]

  • 為任一拓撲空間,表 U 上的連續函數),則 成一局部賦環空間:的唯一極大理想由在消沒的函數構成。拓撲空間之間的連續映射誘導出局部賦環空間的態射,反之亦然。
  • 上述例子中的可代以微分流形複流形,並將代以上的光滑函數或全純函數。
  • 交換環譜。給定環同態,φ誘導出局部賦環空間的態射;反之任一態射皆由環同態給出。

為了刻劃這些態射,局部的條件在此不可或缺,它可被視為之間的聯繫;例如,若不要求局部性,則交換環譜的態射不一定由環同態給出——儘管從古典角度看這是必然的。