贝赫和斯维讷通-戴尔猜想

橢圓曲線 $y^{2}=x^{3}-5x$ 的 $\textstyle \prod _{p\leq M}{\frac {N_{p}}{p}}$ 對數（藍色）在縱軸上的繪圖，其中 $M$ 遍歷前一百萬個質數。橫軸為 $\log(\log(M))$，BSD猜想預測其將逼近紅色直線（斜率等於曲線的秩，此處為1）。

$y^{2}=x^{3}-16x+16$ 的L函數圖像，在 $x=1$ 處有一個「一」階零點。BSD猜想預測該曲線上的有理點本質上位於一條「射線」——即一個「一」維結構上。

伯奇和斯溫納頓-戴爾猜想（英文：Birch and Swinnerton-Dyer conjecture）又稱伯奇-斯溫納頓-戴爾猜想（英文：Birch-Swinnerton-Dyer conjecture），簡稱BSD猜想，中文維基百科曾經翻譯成貝赫和斯維訥通-戴爾猜想，是現代數學最重要的未解問題之一，也是克雷數學研究所七大千禧年大獎難題之一。屬於橢圓曲線上的數論領域。

該猜想以數學家布萊恩·約翰·伯奇和彼得·斯溫納頓-戴爾的名字命名，他們於1965年首次提出了這一猜想。它描述了阿贝尔簇的算术性质与解析性质之间的联系，即對有理數域上的任一橢圓曲線，其L函式在1的化零階（Order of vanishing）等於此曲線上有理點構成的Abel群的秩。

這個猜想的提出引起了廣泛的關注和討論，因為它涉及到數學的深層結構，並對於解析數論和算術幾何有著重要的影響。由於其複雜性和難度，BSD猜想至今尚未被證明，因此被視為當代數學中最具挑戰性的問題之一。

設 $E$ 是定義在代數數域 $K$ 上的橢圓曲線，$E(K)$ 是 $E$ 上的有理點的集合，已知 $E(K)$ 是有限生成交换群。記 $L(s,E)$ 是 $E$ 的L函數，則此猜想如下：

${\hbox{ord}}_{s=1}(L(s,E))={\hbox{rank}}_{\mathbb {Z} }(E(K))$

該猜想的起源可追溯至1958年，當時研究人員利用EDSAC計算機進行了一系列數值運算。這些計算旨在為橢圓曲線尋找一種與狄利克雷類數公式相類似的理論規律。2000年，位於馬薩諸塞州劍橋的克雷數學研究所將其列為七大千禧年大獎難題之一，並懸賞一百萬美元，獎勵能給出嚴謹數學證明的人。值得注意的是，獎項規則對「反例」的認定設有門檻：若反例僅是依靠現代電腦強大的運算能力暴力搜索所得，而無法對問題本質提供「理論上的深刻見解」，可能不符合獲獎資格。

伯奇和斯溫納頓-戴爾猜想之所以在數學界佔有核心地位，是因為它在複分析與數論這兩個截然不同的領域之間，建立了一種令人驚訝的深刻聯繫。若能證明此猜想，將意味著人類對數學架構中的深層結構有了全新的認識。數學理論常被視為由無數「點」（命題）與「箭頭」（邏輯推論）構成的網絡；而在兩個看似無關的理論間架起橋樑，相當於建立了大量新的邏輯通路。這不僅能解決許多現存難題，更將開創前所未有的應用前景。因此，構建這座理論橋樑被視為當代數學最艱鉅的任務之一。

如果猜想成立，意味著某些特定方程「解的數量與結構」，與其對應數學函數的「零點性質」緊密相關。方程的整數解或有理數解屬於代數與數論的研究範疇（離散數學）；而數學函數的連續性、微分學及零點分佈則屬於分析學的範疇（連續數學）。該猜想的挑戰在於將這兩者統一在同一個框架內。簡而言之，伯奇和斯溫納頓-戴爾猜想斷言：橢圓曲線上有理點生成的群之秩（Rank），可以直接由其對應的 L 函數在 $s=1$ 處的零點階數推導出來。

具體而言，問題陳述如下：設 $E$ 為有理數域上的一條橢圓曲線，$L(E,s)$ 為其L函數。根據莫德爾-韋伊定理（Mordell-Weil theorem），$E$ 上的有理點集合 $E(\mathbb {Q} )$ 構成一個有限生成的阿貝爾群。這意味著該群同構於 $E(\mathbb {Q} )_{\text{tors}}\times \mathbb {Z} ^{r}$，其中 $E(\mathbb {Q} )_{\text{tors}}$ 是有限的扭子子群，而非負整數 $r$ 稱為 $E$ 的「代數秩」。該猜想斷言：此代數秩 $r$ 恰好等於 $L(E,s)$ 在 $s=1$ 處的零點階數（即解析秩），公式為 $r=\mathrm {ord} _{s=1}L(E,s)$。

除了解析秩與代數秩的對應關係外，該猜想還包含更深層的定量描述。這涉及到一個關鍵的數學對象——泰特-沙法列維奇群（Tate-Shafarevich Group），它量化了局部-整體原理在該曲線上的失效程度。強伯奇和斯溫納頓-戴爾猜想（Strong BSD Conjecture）進一步預言：橢圓曲線的泰特-沙法列維奇群必為有限群，且其群階（大小）連同曲線的其他算術不變量，精確地出現在 L 函數於 $s=1$ 處泰勒展開式的首項係數中。

儘管數學家們付出了巨大努力，目前距離完全解決該問題仍有相當距離。在20世紀下半葉，關於秩 $r=0$ 和 $r=1$ 的情形已獲得證明（如格羅斯-察吉爾公式和科利瓦金的工作）。然而，對於秩 $r\geq 2$ 的情形，由於關鍵的黑格納點（Heegner point）方法失效，目前甚至連單個曲線的理論證明都尚未達成，儘管數值證據強烈支持猜想成立。近年來，研究人員也開始嘗試利用人工智能技術，試圖從大數據中尋找橢圓曲線秩分佈的潛在規律。

問題描述

伯奇和斯溫納頓-戴爾猜想預測，某些方程解的數量與結構，可以在現代數學中看似毫無關聯的領域中找到線索。這也正是該猜想難以被證明的原因：至今我們尚未建立起能夠完整解釋這種深層聯繫的統一理論。數學理論建立在被視為真理的公理（即基本假設）之上，這些公理雖然客觀存在，但許多基於此衍生的問題往往在提出許久後，才隨著新數學工具的誕生而獲得解決。這可以與國際象棋作類比：雖然遊戲規則簡單且「完全確定」（相當於公理），但遊戲本身的複雜性使得至今仍未被「完全解開」，即不存在一個能算出所有局面最優解的「完美棋手」。

圖 1：直線 $y=2x$ 的圖像。「直線」的名稱源於曲線的形狀。

圖 2：橢圓曲線 $y^{2}=x^{3}-3x+1$ 的圖像

為了定位伯奇和斯溫納頓-戴爾猜想，理解數學方程的概念至關重要。方程的例子包括 $1=1$，$2=2$ 和 $2\cdot x=4$。在後者中，符號 $x$ 必須先被「顯現」出來，然後通過 $x=2$ 才能清楚地識別出簡單的關係 $2\cdot 2=4$。方程可以變形。這背後的理念是，如果兩個相同的量以相同的方式被操作，結果必須再次相同。如果在 $7=7$ 兩邊加上 $3$，就產生了 $10=10$——這又是一個有效的方程。如果在 $2\cdot x=4$ 兩邊除以 $2$，就產生了 $x=2$，這具有將之前已經唯一確定的量 $x$ 「顯現」出來的優點。在許多科學實踐的問題中，抽象方程最初是從已知關係和未知量中產生的，因此解方程的技術非常重要：在科學理論中建立的因果關係將這些量「強迫」進一個有限的可能性空間，但只有解開產生的方程才能使這些少數的可能性「可見」。

該猜想涉及一類非常特定的方程，這些方程在數學——包括其應用——中扮演著特殊的角色。它們被稱為「橢圓曲線」。嚴格來說，「方程」一詞對其描述並不充分：「曲線」一詞更精確地表明，橢圓曲線是空間中滿足特定方程（含有兩個未知數）的所有解的集合，其作為幾何圖形具有「曲線狀」的形態。

從學校數學的角度來看，這個概念絕非新鮮事：一條直線——所有曲線中「最簡單」的原型——由所有點 $(x,y)$ 組成，這些點共同滿足以下形式的方程

$y=mx+c$ 其中 $m,c$ 為固定數值（此時分量 $x$ 和 $y$ 作為數值被單獨代入）。

由於有兩個量，即 $x$ 和 $y$ 未被詳細指定，因此可以預期會有大量的解。以 $y=2x$ 為例：「完全可見」的解指定了兩個未知數，例如 $(2,4)$，$(3,6)$ 或 $(-10,-20)$。只有張開兩個維度——即一個「x維度」和一個「y維度」——才允許完全捕捉這個集體（見圖 1）。此外，由於 $(x,y)=(x,2x)$，這無非是所有形式為 $(x,2x)$ 的點的表格列表。 從幾何角度來看，將由此產生的曲線稱為直線是很自然的。

相比之下，橢圓曲線是一組點 $(x,y)$ 的集合，它們共同滿足一個三次方程，通常寫成如下形式

$y^{2}=x^{3}+ax^{2}+bx+c$ 其中 $a,b,c$ 為固定數值。

數值 $a,b$ 和 $c$ 是有理數，由於它們的任意性，存在一個「無限族」的橢圓曲線：

$y^{2}=x^{3}+x^{2}-x$

$y^{2}=x^{3}-{\tfrac {1}{2}}x^{2}+3x+1$

$y^{2}=x^{3}+{\tfrac {11}{134}}x-{\tfrac {1}{5}}$

以及無數其他的例子。現在我們將頻繁使用 $y^{2}=x^{3}+x^{2}-x$ 這個例子來進行說明。

就像直線的情況一樣，構建橢圓曲線只使用了四則運算。因此，它們和直線一樣，被歸類為「代數曲線」。如同一般方程，人們也可以在這裡詢問解的情況。然而，伯奇和斯溫納頓-戴爾猜想是一個數論問題。因此，興趣的焦點在於方程的有理解，這些解對應於如下形式的點：

$(1,2),\quad ({\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{3}})\quad$ 或 $\quad (-1,{\tfrac {3}{7}})$

因此，人們只對有理點感興趣。

點

例子

橢圓曲線 $y^{2}=x^{3}+x^{2}-x$ 及其所有有理點 例子：有理點 $(x,y)=(1,1)$（即 $x=1$ 和 $y=1$）位於橢圓曲線 $y^{2}=x^{3}+x^{2}-x$ 上，因為 $1^{2}=1^{3}+1^{2}-1$ （兩邊的結果都是 $1$）。 注意 $1^{2}=1\cdot 1=1$，同樣 $1^{3}=1$。類似地，可以很快驗證有理點 $(-1,1)$，$(-1,-1)$，$(1,-1)$ 以及 $(0,0)$ 都在曲線上。 事實上，除了不包含在圖表中的「無窮遠點」之外，這5個例子是橢圓曲線 $y^{2}=x^{3}+x^{2}-x$ 上僅有的有理點，也就是說，除了上述提到的之外，沒有其他有理數組合 $(x,y)$ 能滿足該方程。 然而，要看出這一點在數學上是一項艱鉅的任務。 伯奇和斯溫納頓-戴爾猜想關注的是橢圓曲線上可能有理點的數量。如果猜想成立，那麼可以通過相對較少的努力「直接計算出」，曲線 $y^{2}=x^{3}+x^{2}-x$ 上只能有有限個有理點。

這表明曲線上的點可以通過巧妙的猜測找到——而且曲線的簡單結構使得驗證非常容易。然而，單純的猜測通常不是一個可接受的數學算法（= 方法）。目前還沒有被證明快速的方法來「解」橢圓曲線的方程，即在沒有天真猜測的情況下實際找到點。這主要是由 $x^{3}$ 項造成的，它導致方程顯著複雜化。特別是從數論的角度來看，源自四則運算的代數曲線非常令人感興趣：在方程中，混合了加法和乘法這兩種運算學科，這一點在省略縮寫慣例時可以看得很清楚：

$y\cdot y=x\cdot x\cdot x+a\cdot x\cdot x+b\cdot x+c.$

然而，「數字背後」極其深層的結構恰恰隱藏在加法和乘法的「可能相互作用」中，起初聽起來簡單的事情實際上是一個極其困難的問題。一些著名的未解數學問題證明了這一點：

• 至今未知是否會無限次出現兩個相鄰質數相差 2 的情況。這些孿生質數的例子有 $(3,5)$ 和 $(17,19)$。質數源於乘法數論，但差值為 $2$ 的規定是加法性的。
• abc-猜想將互質數 $a$ 和 $b$ 的質因數分解性質與 $c=a+b$ 的性質聯繫起來。

類似的情況是，理論物理學至今未能將基本力統一起來形成一個大統一理論。

「局部-整體原理」：圍棋中的每一枚棋子最初只有局部影響，但整局遊戲仍然由各個棋子的位置（「局部因素」）唯一確定。儘管遊戲規則很容易解釋，但由於所有「局部因素」的全局相互作用，它獲得了巨大的複雜度。

對於尋找代數方程（如 $y^{2}=x^{3}+x^{2}-x$）有理如解的問題，數學界在許多世紀裡都束手無策。然而，在現代數學方法的發展和建立過程中，人們得出結論：將像 $y^{2}=x^{3}+x^{2}-x$ 這樣的方程視為一個「系統」會有幫助。在研究該系統時，將其「分解」成許多非常小的「子系統」並單獨研究這些「組件」是有益的。如果有必要，這些局部部分的模式可能會揭示關於整體系統的某些信息。局部子系統在本質上仍然是方程 $y^{2}=x^{3}+x^{2}-x$，但區別在於量 $x$ 和 $y$ 只有有限種選擇。然而，這些有限的量模擬有理數，再次形成一個關於四則運算的封閉區域（因此代數方程仍然有意義）。在數論中，這個過程也被稱為局部-整體原理。

由於 $x$ 和 $y$ 的「定義域」受到明顯限制，每個「子系統」現在都可以更容易地被分析。如果在其中計算解的數量（例如通過計算機運算），就可以通過這種策略獲得一個過程：

子系統 $\to$ 整數。

由此產生一個不會結束的整數數列（因為有無限多個「子系統」）。例如，對於 $y^{2}=x^{3}+x^{2}-x$ 的情況，結果是

$1,\,\,0,\,\,-2,\,\,0,\,\,-1,\,\,0,\,\,2,\,\,0,\,\,1,\,\,0,\,\,0,\,\,0,\,\,2,\,\,0,\,\,2,\,\,0,\,\,-6,\,\,0,\,\,-4,\,\,0,\,\,-4,\,\,0,\,\,6,\ldots$

從這些數字（即局部組件）中，現在可以生成一個整體數學函數 $L_{E}(x)$（下標 $E$ 表示它取決於固定選擇的橢圓曲線 $E$）。這個構造過程在數學上並非易事，但將在本文後面描述。這裡的一個巨大優勢是，人們對局部組件有完全的理解：例如，德國數學家黑爾姆特·哈塞早在1936年就能證明這些局部ζ函數的黎曼猜想。 這導致了對上述數列相當精確的理解。然而，為了表述該猜想，只有全局函數在 $x=1$ 處的行為是決定性的，因此其「函數項」根本不需要被精確知曉。第一個非常粗略的表述是：

如果猜想成立，$L_{E}(x)$ 在 $x=1$ 處的零點行為將說明橢圓曲線 $E$ 具有多少個有理點。

這裡不僅區分「有限」和「無限」，甚至還有各種不同程度的無限——這表現為在 $x=1$ 處的零點階數：

$1,\qquad (x-1),\qquad (x-1)^{2},\qquad (x-1)^{3},\qquad (x-1)^{4},\qquad \ldots$

表示在 $x=1$ 處零點階數為 0, 1, 2, 3, 4 等的函數原型。

• 
  無零點對應於0階。
• 
  示例 $f(x)=x-1$；一階零點
• 
  示例 $f(x)=(x-1)^{2}$；二階零點
• 
  示例 $f(x)=(x-1)^{3}$；三階零點

• 
  零階對應於僅有限多個解。
• 
  在一階的情況下，解示意性地位於一條「射線」（一維）上。所示的模式延伸至無窮遠。
• 
  在二階的情況下，解示意性地位於一個「平面」（二維）上。所示的模式延伸至無窮遠。
• 
  在三階的情況下，解示意性地位於三維空間中。所示的模式延伸至無窮遠。

這個模式繼續延續，但從第4維開始無法再進行直觀展示。此外非常重要的是，這只是解的示例性展示，即解本身並非位於高維空間中的點——它們始終具有形式 $(x,y)$。然而，通過解的「格結構」進行這種表示是有意義的——並且在計算上得到了證明：因為在橢圓曲線的有理點上定義了一種形式的「加法」。因此，有可能通過一個計算過程

$P\oplus Q=R$

從橢圓曲線上的兩個已知點 $P$ 和 $Q$ 獲得該曲線上的新點 $R$。這個過程很繁瑣，但僅依賴於四則運算。如果通過巧妙的猜測找到了兩個有理點，那麼可以通過運算生成該曲線上的第三個、可能是全新的有理點。結論是，曲線上的許多「複雜點」是通過「簡單點」的頻繁「加法」或「減法」產生的，因此在某種程度上，只需計算「簡單點」，就能獲得對所有點的數量的理解。這激發了上述「維度」形式的動機：例如元素 $(1,0)$ 和 $(0,1)$ 在經典加法層面上以唯一的方式生成所有具有整數 $m,n$ 的點 $(m,n)$，例如

$(3,-2)=(1,0)+(1,0)+(1,0)-(0,1)-(0,1).$

在橢圓曲線上的點的層面上也必須同樣思考：如果恰好有兩個點 $P_{1}$ 和 $P_{2}$ 本質上以唯一的方式生成所有其他點，那麼在思想上通過「P1」軸和「P2」軸就產生了一個二維網格。

• 
  $y^{2}=x^{3}+x^{2}-x$ 的 L 函數圖像，可見在 $x=1$ 處沒有零點。
• 
  $y^{2}=x^{3}-16x+16$ 的 L 函數圖像。在 $x=1$ 處存在一個簡單零點（穿過 x 軸而非相切）。
• 
  $y^{2}=x^{3}-7x+10$ 的 L 函數圖像。在 $x=1$ 處存在一個二階零點。
• 
  $y^{2}=x^{3}-4x+64$ 的 L 函數圖像。在 $x=1$ 處存在一個三階零點。

• 
  零個「生成元」；$y^{2}=x^{3}+x^{2}-x$ 上只有有限個有理點（見上例）。
• 
  恰好一個「生成元」，在此圖中為 $1$。曲線 $y^{2}=x^{3}-16x+16$ 上的一個點 $P$ 本質上生成所有其他有理點。
• 
  兩個「生成元」，在此圖中為 $(1,0)$ 和 $(0,1)$。曲線 $y^{2}=x^{3}-7x+10$ 上的兩個點 $P_{1}$ 和 $P_{2}$ 本質上生成所有其他有理點。
• 
  三個「生成元」，在此圖中為 $(1,0,0)$，$(0,1,0)$ 和 $(0,0,1)$。曲線 $y^{2}=x^{3}-4x+64$ 上的三個點 $P_{1}$，$P_{2}$ 和 $P_{3}$ 本質上生成所有其他有理點。

術語「本質上」意味著橢圓曲線總是可能有有限多個「例外點」，它們「完全」無法由生成元生成。更確切地說，總是存在（甚至是唯一的）分解

${\text{任 意 點 }}=\underbrace {\text{生 成 點}} _{\text{從 1維 開 始 為 無 限 多 個 }}\oplus \,\,\,\,\underbrace {\text{例 外 點 }} _{\text{始 終 有 限 多 個 }}$

因此，必須始終在除去這有限多個例外點的情況下進行思考。

伯奇和斯溫納頓-戴爾猜想：與橢圓曲線 $E$ 相關聯的數學函數 $L_{E}$ 在 $x=1$ 處的零點階數是一個「維度數」。它精確地指出，至少需要多少個有理點，才能通過「加法」和「減法」本質上生成 $E$ 上的所有其他有理點。

因此，伯奇和斯溫納頓-戴爾猜想是局部-整體原理的一種變體：由於橢圓曲線的所有局部子系統同時在其「相互作用」中定義了函數 $L_{E}$，遵循局部-整體哲學，這些子系統應該知道關於 $y^{2}=x^{3}+x^{2}-x$ 在有理數中的某些信息。

猜想將解析性質（L 函數的零點）與代數性質（生成元的數量/秩）完美地聯繫了起來。它表明，雖然我們是通過「局部」信息（有限域上的解）構建了 L 函數，但這個函數奇蹟般地「知道」了整體的代數結構。

橢圓曲線的這種群結構不僅是純數學的興趣所在，實際應用例如，橢圓曲線密碼學（ECC）正是利用了在曲線上已知 $P$ 和 $nP$ 卻難以反求 $n$（離散對數問題）的特性，來保護現代互聯網通信的安全。

橢圓曲線上「加法」形式的存在也被用於所謂的「橢圓曲線」質數測試、亨德里克·倫斯特拉的「橢圓曲線」分解法 以及密碼學中的「公鑰」加密算法中。 為此，需要具有儘可能多有理點的曲線，並利用尋找用於加法生成曲線大有理點的原始數據的困難性。參見橢圓曲線密碼學。

所需基礎與公式化

符號

使用以下通用符號：

• $\mathbb {N} =\{1,2,3,\ldots \}$ 表示自然數。
• $\mathbb {Z} =\{\ldots ,-2,-1,0,1,2,3,\ldots \}$ 表示整數。
• $\mathbb {Q}$ 表示有理數。
• $\mathbb {R}$ 表示實數。
• $\mathbb {C}$ 表示複數。 $\mathrm {Re} (z)$ 和 $\mathrm {Im} (z)$ 分別表示複數 $z$ 的實部和虛部。
• $x\in M$ 表示 $x$ 是集合 $M$ 的一個元素，$x\notin M$ 表示它不是集合 $M$ 的元素。例如 $-{\tfrac {1}{3}}\in \mathbb {Q}$ 和 $-{\tfrac {1}{3}}\notin \mathbb {Z}$。
• $e^{x}$ 表示自然指數函數，$\log(x)$ 表示自然對數。

有理數運算

主条目：分數運算

伯奇和斯溫納頓-戴爾猜想涉及所謂的「有理點」。為了更深入地理解這一概念，掌握有理數（或稱「分數」）的運算是不可或缺的。一個實數——直觀上是射線上沒有「最小單位」的任意長度——$x$ 被稱為有理數，如果它可以寫成兩個整數的商，即 $x={\tfrac {a}{b}}$，其中 $a$ 和 $b$ 是任意整數。這裡 $a$ 是「分子」，$b$ 是「分母」。有理數的例子包括 ${\tfrac {1}{2}},{\tfrac {3}{1}}=3,{\tfrac {4}{20}}$。直觀地說，這些分數正是當將「可數」數量的物品（如「17 歐元」）分配給同樣「可數」的人群（例如「4 個人」）時產生的部分。產生的分數可以解釋為「每個人的份額」。

有理數可以進行運算：加法是通過尋找最小公分母來實現的，而在乘法中，分子和分母分別相乘。

代數曲線

主条目：代數曲線

數線（上），平面笛卡兒座標系（下）

「點」的概念在伯奇和斯溫納頓-戴爾猜想中扮演著重要角色。這裡特別重要的是點的「位置面向」（幾何）與「數量面向」（數論）之間的相互作用。直觀上，點是一個「沒有任何延伸」的物體。在歐幾里得平面上，一個點 $P$ 總是可以通過給定笛卡兒座標來表示，寫作 $P=(x,y)$。這裡的 $x$ 和 $y$ 是實數，而平面是通過考慮兩條數線上長度 $x$ 和 $y$ 的所有可能組合來定義的。這些數線可以可視化為「張成」平面的兩個軸（見圖）。

平面幾何的一個重要對象是研究平面上的圖形。這包括例如直線、圓、雙曲線、拋物線或橢圓。所有這些圖形的共同點是它們都由平面上「所有點的子集」構成。例如，圓上的每一個點都是平面的一部分，但並非平面的每一個點都是圓的一部分。更有甚者：正是特定點的明確選擇及其「相互作用」構成了圓。因此，關鍵問題是根據什麼標準可以確定圖形上的所有點。同樣地，也可以問一個圖形上的點在什麼樣的「共性」上區別於平面上的所有其他點。

理論上，可以通過選擇完全隨機的點來形成任意「圖形」——可能性是無限的。然而，從學校數學開始，焦點就放在非常特定的圖形上，首先是直線。它們的幾何自然性對應於代數，因為直線上的點 $(x,y)$ 的共性可以用四則運算來解釋。如果直線不平行於「y軸」，則總是存在兩個數 $m$ 和 $c$，使得其所有點都具有 $(x,mx+c)$ 的形式。由於第二個座標傳統上寫為 $y$，因此（等價的）描述 $y=mx+c$ 作為方程式非常常用。雖然在平面上選擇一個點時具有完全的開放性，但直線規則在數學上具有區分性，因為通過（自由）選擇第一個座標 $x$，第二個座標僅剩下值 $mx+c$，所有其他「候選者」都被排除，不屬於該直線。

所謂「代數曲線」，通常是指平面上的一族點，其分量 $x$ 和 $y$ 都滿足一個「共同的代數關係」。這意味著存在一個方程式，其中僅包含有限次的加、減、乘、除運算，並且被所有點同時滿足。 如上所述，（大多數）直線上的點 $(x,y)$ 滿足代數關係 $y=mx+c$，其中 $m$ 和 $c$ 為固定數值。但更高次數的代數方程式也是可能的。標準拋物線由形式為 $(x,y)=(x,x^{2})$ 的所有點組成， 而半徑為 1 且圓心在原點 $(0,0)$ 的圓恰好由所有滿足以下條件的點 $(x,y)$ 組成：

$x^{2}+y^{2}=1$

這可以用畢氏定理來證明（見圖）。 說一條曲線是「定義在有理數上」，意味著定義該曲線的所有相關多項式僅使用有理數。

• 
  有無數種方法可以從平面中選擇點（此處為黑色）。所有這些點的「共性」可能是什麼？
• 
  對於代數曲線，所有選定的點 $(x,y)$ 在基本運算上都有一個共性。此處為 $y=2x$。
• 
  單位圓上的每個點 $(x,y)$ 都會形成一個直角三角形，其股長為 $|x|,|y|$ 且斜邊長為 $1$。根據畢氏定理，始終成立 $x^{2}+y^{2}=1$。因此，圓也是一條代數曲線。
• 
  橢圓曲線 $y^{2}=x^{3}-3x+1$ 的圖示

所謂「有理數上的橢圓曲線 $E$」，是指其點 $(x,y)$ 滿足如下形式方程式的曲線：

$y^{2}+a_{1}xy+a_{3}y=x^{3}+a_{2}x^{2}+a_{4}x+a_{6}$

（對值 $a_{j}$ 有附加條件，見下文）。 這裡的 $a_{1},a_{2},a_{3},a_{4},a_{6}$ 是固定的，即特定於曲線的有理數。 重點在於三次冪 $x^{3}$，這使得方程式比二次的圓方程式複雜得多。因此，橢圓曲線不屬於線性或二次曲線，而是「三次」曲線。 有理數上橢圓曲線的一個明確例子是 $y^{2}=x^{3}-3x+1$（見圖）。通過適當的變數變換，有理數上的橢圓曲線總是可以化簡為以下形式：

$y^{2}=x^{3}+ax+b$

其中 $a,b\in \mathbb {Q}$。

代數曲線在規模上，例如涉及多項式的次數，可以任意複雜。例如：

$13y^{7}x^{2}-31x^{2}+115xy=91$

也定義了一條代數曲線。在某些情況下，使用參數化會有所幫助。這是指將一個「孤立」的參數映射到曲線上一個點的映射。不難看出，映射 $t\mapsto (t,mt+c)$ 和 $t\mapsto (t,t^{2})$ 分別參數化了直線和標準拋物線。稍加努力可以證明：

$t\mapsto \left({\frac {1-t^{2}}{1+t^{2}}},{\frac {2t}{1+t^{2}}}\right)$

參數化了單位圓，因為 $(1-t^{2})^{2}+(2t)^{2}=1+2t^{2}+t^{4}=(1+t^{2})^{2}$，因此根據分數的運算規則：

$\left({\frac {1-t^{2}}{1+t^{2}}}\right)^{2}+\left({\frac {2t}{1+t^{2}}}\right)^{2}={\frac {(1-t^{2})^{2}}{(1+t^{2})^{2}}}+{\frac {(2t)^{2}}{(1+t^{2})^{2}}}={\frac {(1+t^{2})^{2}}{(1+t^{2})^{2}}}=1.$

有理點

曲線上點的相互位置揭示了其幾何性質。另一個問題則指向其點的性質。例如「曲線上的數論」詢問在特定曲線上位於「多少個」有理點。一個點 $(x,y)$ 被稱為有理點，如果其分量 $x$ 和 $y$ 「都」是有理數，例如 $({\tfrac {1}{2}},-{\tfrac {3}{4}})$。

在標準拋物線以及單位圓的情況下，通過參數化 $t\mapsto (t,t^{2})$ 和 $t\mapsto ({\tfrac {1-t^{2}}{1+t^{2}}},{\tfrac {2t}{1+t^{2}}})$ 很快可以看出，這兩條曲線上必定有無窮多個有理點。如果參數 $t$ 選擇為有理數，則相應的點必須是有理的，因為有理數在四則運算下是封閉的。單位圓上有理點的一個例子是 $({\tfrac {5}{13}},{\tfrac {12}{13}})$，因為：

$\left({\tfrac {5}{13}}\right)^{2}+\left({\tfrac {12}{13}}\right)^{2}={\tfrac {25}{169}}+{\tfrac {144}{169}}={\tfrac {169}{169}}=1.$

將兩邊乘以 $13^{2}$，得到 $5^{2}+12^{2}=13^{2}$。一般來說，單位圓上的有理點與所謂的畢氏三元數（勾股數）之間存在密切的對應關係。

然而，如果一條代數曲線是定義在有理數上的，這並不意味著它必須有許多有理點。一般來說，決定哪些有理點位於有理數定義的曲線上，或者甚至找到任何一個這樣的點，在數學上是一個「非常」困難的問題。 其中一個原因是，在構建曲線時必然會產生加法和乘法的混合，這種混合通常無法再「解開」。一些例子展示了這個問題：

• 雖然單變數的線性方程和二次方程可以基本求解（後者使用學校數學中熟知的求根公式），但例如對於形式為 $x^{5}+ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+dx+e=0$ （以及更高次）的方程，不存在通用的求解過程，或者說沒有辦法「完全通用地」用根式封閉形式寫出解。
• 雖然方程 $x^{2}+y^{2}=z^{2}$ 擁有無窮多個非平凡整數解，例如 $3^{2}+4^{2}=5^{2}$ 或 $13312^{2}+261975^{2}=262313^{2}$，但長期以來，對於 $n\geq 3$ 的 $x^{n}+y^{n}=z^{n}$ 是否存在 $x,y,z\geq 1$ 的整數解一直是一個未解之謎。這個問題——在兩邊除以 $z^{n}$ 後——對應於代數曲線的有理點問題：

$x^{3}+y^{3}=1$,

$x^{4}+y^{4}=1$,

$x^{5}+y^{5}=1$

等等。

否定這一點的費馬大定理直到 20 世紀末才在巨大的努力下被證明。證明的過程並不是對方程進行變形或求解（例如通過無效的「假設」$x={\sqrt[{n}]{z^{n}-y^{n}}}$），而是證明了關於對應於費馬方程的橢圓曲線的一個結果。

儘管伴隨著巨大的困難，數學仍然對曲線上的有理點感興趣，因為數字的更深層本質正是通過它們與加法和乘法的相互作用而顯露出來的。雖然上述涉及線性或二次多項式的曲線情況很容易處理，但對於橢圓曲線，至今仍沒有（被證明的）通用方法來確定其上有多少個有理點。粗略地說，伯奇和斯溫納頓-戴爾猜想給出了這樣一個程序。

橢圓曲線的判別式

主条目：判別式

在數學中，給複雜對象分配「特徵數」通常很有幫助。這些特徵數旨在幫助區分這些對象的基本結構，或揭示關鍵信息：

• 期望值可以決定一個博弈是否公平，而無需透露其規則的更多細節。
• 線性方程組的行列式說明了該方程組是否唯一可解。

橢圓曲線也可以被分配一個「特徵數」，稱為判別式。對於 $E\colon y^{2}=x^{3}+ax+b$，其計算公式為

$D_{E}=-16(4a^{3}+27b^{2}).$

如果 $D_{E}\not =0$，則稱 $E$ 為「非奇異」的。$D_{E}=0$ 的情況對應於「奇異三次曲線」。後者在理論上與橢圓曲線不同，並且不在伯奇和斯溫納頓-戴爾猜想的框架內進行研究。直觀上，奇異意味著曲線有「尖點」或「自交點」（迴圈）。

群

主条目：群 (數學)

定義與直觀

魔術方塊的軸旋轉生成一個群，即所有操作可能性的集合：「不做任何事」對應於單位元，任何旋轉序列都可以通過（反向）連續「向另一個方向旋轉」來撤銷，這給出了相應的逆操作。

巴西的 24 小時顯示，用於可視化所有整點的群

群被引入數學是為了推廣數字的運算。群是一個對象的集合，例如整數

$\{\ldots ,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,\ldots \}$

以及該集合上的一種運算，使得滿足某些性質。所謂運算是指可以從集合中的任意兩個元素生成該集合的一個新元素。在整數的情況下，這樣的一個運算例如是加法：兩個整數的和又是一個整數。此外，對於一個具有運算 $*$ 的群 $G$，應滿足以下條件：

• 結合律：運算中的括號位置無關緊要。例如，對於所有 $a,b,c\in G$，有 $(a*b)*c=a*(b*c)$。也就是說，在一連串的運算中先執行哪個運算是無關緊要的，只要不改變元素的順序。這在整數加法中顯然是滿足的，例如 $2+(1+4)=(2+1)+4=7$。
• 存在單位元：存在一個元素 $e\in G$，當它與任何其他元素運算時，該元素保持不變。即對於「所有」元素 $a\in G$，有 $a*e=e*a=a$。在上述例子中，單位元是0，因為 $3+0=3$，且一般來說對於任何（整）數 $n$，都有 $n+0=n$。
• 存在逆元：對於「每一個」元素 $a\in G$，都有一個逆元，通常記為 $a^{-1}\in G$，使得 $a*a^{-1}=a^{-1}*a=e$，即運算結果為單位元。在上述整數的例子中，$-n$ 是 $n$ 的逆元，因為總是成立 $n-n=0$。

在群之中，也有一些具有額外性質的群。

• 如果除了群的性質外還滿足交換律，即對於「所有」$a,b\in G$ 都有 $a*b=b*a$，則稱之為阿貝爾群（以紀念尼爾斯·亨利克·阿貝爾）。例如 $\mathbb {Z}$ 是一個阿貝爾群，因為兩個數字交換後的和保持不變。

還有許多其他的群例子，例如不包含零的有理數集合，記為 $\mathbb {Q} \setminus \{0\}$，以乘法作為運算（此時單位元是 $1$）。然而，「有限」群也是令人感興趣的。一個日常的例子是小時和時間的計算。由於在一天中的時間裡，人們並不總是對確切的日期感興趣，新的一天在「0 時」之後不是（僅）以「24 時」開始，而是「重新」以「0 時」開始（在數位時鐘上從 23:59:59 到 00:00:00 的過渡中可以看出）。因此，小時顯示呈現出一種 24-週期模式。儘管如此，在這個小時系統中進行加法運算是可能的。如果不考慮日期，加 $\ldots ,-24,0,24,48,\ldots$ 等小時不會改變什麼。在這個意義上，例如：

$3+17=20,\qquad 23+4=3,\qquad 7-13=18.$

因此，「所有整點」的集合 $\{0,1,2,\ldots ,23\}$ 與剛才解釋的「加法」一起構成了一個有限的阿貝爾群（以 $0$ 為單位元）。在有限群中，一個元素不斷與自身運算，最終必然會回到單位元，在小時的情況下，例如：

$\underbrace {1+1+\cdots +1} _{24{\text{ 次}}}=0,\qquad \underbrace {3+3+\cdots +3} _{8{\text{ 次}}}=0,\qquad 12+12=0.$

達到單位元所需的最小自然數運算次數也稱為該元素的階。 例如在上述例子中，$12$ 的階正好是 $2$。在有限群中，一個元素不斷與自身運算的效果形成了一個「循環」，因為從單位元開始又「從頭」開始。在此背景下值得注意的是，類比的 24 小時時鐘具有圓形形狀（見圖）。此外可以注意到，這個例子基於 24 小時的奇特性，但類似的考慮適用於任意數量的元素。像上面這樣通常有 $n$ 個元素的群 $\{0,1,2,\ldots ,n-1\}$ 也記為 $\mathbb {Z} /n\mathbb {Z}$（在整點的情況下即為 $\mathbb {Z} /24\mathbb {Z}$）。

群的生成元

如果能寫出少量的元素，這些元素借助運算可以生成「所有其他元素」，那麼群就會變得特別「清晰」。

• $1$ 是加法群 $\mathbb {Z}$ 的一個生成元，因為通過

$1,$

$1+1,$

$1+1+1,$

$1+1+1+1,$

$\ldots$

所有正整數都通過逐次加法生成。這裡顯現了兩個重要原則：對於一個生成元，必須始終考慮其逆元素（因為這是唯一確定的，不會增加「真正新的」信息），因此 $-1,(-1)+(-1),(-1)+(-1)+(-1),\ldots$ 補充了負整數列表，其次，單位元 $0$ 總是平凡生成的，例如通過 $1-1=0$。人們也寫作：$\langle 1\rangle =\mathbb {Z}$。

• 根據同樣的原則，$1$ 是群 $\mathbb {Z} /24\mathbb {Z}$ 的一個生成元。然而，例如 $5$ 也是一個生成元：任何時間都可以通過 5 小時的時間間隔生成：

$5=5,$

$5+5=10,$

$5+5+5=15,$

$5+5+5+5=20,$

$5+5+5+5+5=1,$

$\ldots$

$5+5+5+5+5+5+5+5+5+5+5=7$

$\ldots$

填補空缺後，每一個 $\not =0$ 的時間恰好出現一次，直到最後 $\underbrace {5+5+5+\cdots +5} _{24{\text{ 次}}}=0$。這表明生成元即使不考慮逆元，也不是唯一的。成立 $\langle 1\rangle =\langle 5\rangle =\mathbb {Z} /24\mathbb {Z}$。在使用符號 $\langle ,\rangle$ 時，背景中始終是在當前研究的群結構中思考的。

並非所有群都能由單個元素生成。能夠做到這一點的群稱為循環群，從數學角度來看特別簡單。 上述例子表明 $\mathbb {Z}$ 和 $\mathbb {Z} /24\mathbb {Z}$ 是循環的。

群同構

主条目：群同構

為了掌握一個群背後的「通用結構」，即所有元素相互作用的詳細網絡，過於關注用於標記其元素的符號或應用背景可能會造成阻礙。因此，如果兩個群 $G_{1}$ 和 $G_{2}$ 滿足以下條件，則稱它們為同構，記為 $G_{1}\cong G_{2}$：

1. 它們的元素之間存在一一對應關係，
2. 並且在「切換到另一個群」時，群運算規則不會改變。

例如，上述群 $\mathbb {Z} /24\mathbb {Z} =\{0,1,2,\ldots ,23\}$ 也可以標記為 $\{A,B,C,\ldots ,X\}$（其中 $0\leftrightarrow A$, $1\leftrightarrow B$ 等等），根據同構，例如運算

$23+4=3$ 將翻譯為 $X+E=D$

。這再次說明了同構的有用性：結構的研究不取決於文化方面，例如用阿拉伯符號命名數字，或研究背景——重要的是「其元素的確切相互作用」，無論它們「叫什麼」。此外，這使得理論之間的「橋樑建設」成為可能：如前所述，抽象有限群 $\mathbb {Z} /24\mathbb {Z}$ 應用於人類選擇的小時時間——但也出現在數論中關於數字 24 的背景下。

也可能發生兩個看似具有「不同」運算的群是同構的，即最終擁有完全相同的結構。一個例子是「2 小時日」$\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} =\{0,1\}$ 且 $1+1=0$ 與「乘法」群 $\{1,-1\}$，因為同樣成立 $(-1)\cdot (-1)=1$；映射 $\{0,1\}\to \{1,-1\}$ 與 $0\mapsto 1,1\mapsto -1$ 提供了同構。

有限生成阿貝爾群的基本定理

主条目：有限生成阿貝爾群的基本定理

群同構的核心方面使得在群論中處理「所有群」變得特別容易，因為通過同構進行識別使得一種方便的抽象化成為可能。對於伯奇和斯溫納頓-戴爾猜想來說，一個非常重要的例子是所有「有限生成阿貝爾群」的「分類」。為此，首先有一個簡單的觀察很重要：可以從兩個群 $G_{1}$ 和 $G_{2}$ 「構建」一個新群 $G_{1}\times G_{2}$，方法是對 $g_{1}\in G_{1}$ 和 $g_{2}\in G_{2}$ 使用元組 $(g_{1},g_{2})$ 進行計算。如果 $G_{1}$ 和 $G_{2}$ 是加法群，則在 $G_{1}\times G_{2}$ 上定義以下分量運算

$(a,b)+(c,d):=(a+c,b+d).$

通過這種方式，$\mathbb {Z} \times \mathbb {Z}$ 成為一個群，並且成立 $(11,-3)+(4,21)=(15,18)$。這種所謂的直積沒有限制，因此 $\mathbb {Z} \times \mathbb {Z} \times \mathbb {Z}$ 等也構成具有相應數量「分量」的群。 此外簡寫為

$\mathbb {Z} ^{r}:=\underbrace {\mathbb {Z} \times \cdots \times \mathbb {Z} } _{r{\text{ 次}}}$

（在此符號中 $\mathbb {Z} ^{0}:=\{0\}$ 是平凡群）。如果 $G$ 是一個有限生成阿貝爾群，則可以證明，總是存在數字 $d_{1},\ldots d_{\ell }\in \mathbb {N}$ 以及 $r\geq 0$，使得存在如下形式的同構

$G\cong \mathbb {Z} /d_{1}\mathbb {Z} \times \mathbb {Z} /d_{2}\mathbb {Z} \times \cdots \times \mathbb {Z} /d_{\ell }\mathbb {Z} \times \mathbb {Z} ^{r}.$

如果對 $d_{1},\ldots ,d_{\ell }$ 提出某些要求，則這些可以用 $G$ 的術語唯一確定。 有限部分 $\mathbb {Z} /d_{1}\mathbb {Z} \times \mathbb {Z} /d_{2}\mathbb {Z} \times \cdots \times \mathbb {Z} /d_{\ell }\mathbb {Z}$ 也稱為「扭轉部分」（Torsionsteil）；它包含所有那些不斷與自身運算後最終加和為零的元素，即形成上述循環的元素。群的無限部分 $\mathbb {Z} ^{r}$（在 $r>0$ 的情況下）在伯奇和斯溫納頓-戴爾猜想的背景下特別令人感興趣。

橢圓曲線上的群律與莫德爾-韋伊定理

導論與通過直線和圓的動機

直線 $y=2x$ 上的點加法，通過分量相加實現

通過 $\theta \mapsto (\cos(\theta ),\sin(\theta ))$ 將歐幾里得平面上半徑為 1 且圓心在原點的圓參數化。圓上點加法 $({\tfrac {3}{5}},{\tfrac {4}{5}})\oplus ({\tfrac {5}{13}},{\tfrac {12}{13}})=(-{\tfrac {33}{65}},{\tfrac {56}{65}})$ 的圖像演示。

在某些代數曲線的有理點上，可以定義一個群定律。一個例子是斜率為 ${\text{2}}$ 的直線。這條直線由所有形式為 $(x,2x)$ 的點的集合給出。例如，點 $(1,2),(2,4),(-11,-22)$ 都在這條直線上。由於兩個分量之間的比例性（它們僅相差因子 $\text{2}$），直線上的點可以按分量相加得到新的點。例如，點 $(1,2)+(2,4)=(3,6)$ 再次位於直線上。這對非整數點也適用，並且由於有理數本身在加法下是封閉的（$\mathbb {Q}$ 也構成一個阿貝爾群），所以在斜率為 $2$ 的直線上的所有有理點構成了一個以 $(0,0)$ 為單位元的阿貝爾群。通過 1:1 的對應關係 $x\leftrightarrow (x,2x)$，這個群甚至同構於 $\mathbb {Q}$。

對於圓 $x^{2}+y^{2}=1$，也可以指定一個群律（參見單位圓上有理點組成的群）。如果有理點 $(x,y)$ 和 $(t,u)$ 位於單位圓上，則有理點

$(x,y)\oplus (t,u):=(xt-uy,xu+yt)$

也在圓上。群運算的符號 $\oplus$ 表明這不再是「普通的加法」。利用這種運算，可以從已知的單位圓上有理點獲得新的點；例如：

$\left({\tfrac {3}{5}},{\tfrac {4}{5}}\right)\oplus \left({\tfrac {5}{13}},{\tfrac {12}{13}}\right)=\left(-{\tfrac {33}{65}},{\tfrac {56}{65}}\right)$

其中需注意被運算的點滿足 $3^{2}+4^{2}=25=5^{2}$ 和 $5^{2}+12^{2}=169=13^{2}$。事實上，也確實成立 $(-33)^{2}+56^{2}=4225=65^{2}$。雖然這個定律可以直接計算驗證，但它自然地源於通過正弦和餘弦 $\theta \mapsto (\cos(\theta ),\sin(\theta ))$ 對圓的參數化（見圖）以及三角函數的加法定理：

$\cos(\alpha +\beta )=\cos(\alpha )\cdot \cos(\beta )-\sin(\alpha )\cdot \sin(\beta ),$

$\sin(\alpha +\beta )=\sin(\alpha )\cdot \cos(\beta )+\cos(\alpha )\cdot \sin(\beta ).$

群律由此通過令 $x:=\cos(\alpha ),y:=\sin(\alpha ),t:=\cos(\beta )$ 和 $u:=\sin(\beta )$ 直接得出，結果可以在幾何上解釋為原點對應的角度相加後所得的點。在角度參數化中，群律簡化為規則

$(\cos(\alpha ),\sin(\alpha ))\oplus (\cos(\beta ),\sin(\beta ))=(\cos(\alpha +\beta ),\sin(\alpha +\beta )).$

單位圓上有理點群的確切結構比直線上的更複雜，但可以用數學上令人滿意的方式描述。

橢圓曲線上的群律

参见：橢圓曲線 § 群律

在有理數上的橢圓曲線上，也可以在有理點上定義一個群律。這最好用幾何方法來解釋。如果曲線上兩點 $P\not =Q$ 進行運算，為了確定新點，需要通過兩個被加的點作一條直線，並將該直線與橢圓曲線的第三個交點關於 x 軸進行反射（至少在關於 x 軸對稱的情況下是這樣，見圖）。這個運算的單位元 $O$ 是一個位於「無窮遠處」的「點」，形式上被添加到曲線中。這特別意味著，一個點的逆元始終是原點關於 x 軸的反射（只要曲線中不出現項 $xy$ 和 $y$）。證明所有有理點（包含 $O$）的集合確實構成一個群，由於必須證明結合律 $P+(Q+R)=(P+Q)+R$，過程相當繁瑣。

• 
  橢圓曲線上加法的幾何解釋以及關於「無窮遠點」的反射
• 
  橢圓曲線 $y^{2}=x^{3}+17$ 上點加法 $P+Q=(-2,3)$ 的圖示，其中 $P=(2,5)$ 和 $Q=(4,9)$。
• 
  在倍加 $P+P=({\tfrac {137}{64}},-{\tfrac {2651}{512}})$ 時，必須作曲線在 $P=(-1,4)$ 處的切線。
• 
  一個（有理）點的逆元（在標準化形式 $y^{2}=x^{3}+ax^{2}+bx+c$ 的情況下）始終是關於 x 軸的反射，因為「第三個交點」位於無窮遠處。

「無窮遠點」的現象在數學上是通過射影幾何嚴格描述的。第一步是通過添加第三個變數 $z$ 對曲線進行齊次化，即 $y^{2}z=x^{3}+axz^{2}+bz^{3}$，使得所有單項式都具有相同的次數 3。

雖然橢圓曲線上的點加法可以用幾何直觀地解釋，但在計算方面——類似於單位圓——完全基於四則運算。然而，寫出一個封閉公式是很繁瑣的。 這一點非常重要，因為研究橢圓曲線不僅限於實數或有理數體，這是很有好處的。這也包括那些上述幾何視角根本不再可能的體。

對於「奇異」三次曲線也存在群律。然而，這些群在某種程度上不同於橢圓曲線的群，它們可以通過有理參數化完全描述，因此在伯奇和斯溫納頓-戴爾猜想中不扮演角色。

莫德爾-韋伊定理

主条目：莫德爾-韋伊定理

至今還不存在一個程序來決定任意橢圓曲線有多少個有理點。然而，我們知道，只要曲線是非奇異的，其有理點的數量始終「明顯少於」直線 $y=2x$ 或單位圓 $x^{2}+y^{2}=1$ 的情況。莫德爾-韋伊定理指出，橢圓曲線 $E$ 上的有理點阿貝爾群 $E(\mathbb {Q} )$ 是「有限生成」的。 也就是說，始終存在「有限數量」的固定點 $P_{1},P_{2},\ldots ,P_{n}\in E(\mathbb {Q} )$，使得「每一個」點 $P\in E(\mathbb {Q} )$ 都可以寫成如下形式

$P=m_{1}P_{1}+m_{2}P_{2}+\cdots +m_{n}P_{n}\qquad$ （其中對於 $n\geq 0$ 定義：$nQ:=\underbrace {Q+\cdots +Q} _{n{\text{-次}}}$ 及 $-nQ=\underbrace {-Q-\cdots -Q} _{n{\text{-次}}}$）

其中 $m_{j}\in \mathbb {Z}$ 為任意整數。所需的生成元數量自然會隨曲線的選擇而變化。根據有限生成阿貝爾群的分類，存在一個 $r\geq 0$，使得

$E(\mathbb {Q} )\cong E(\mathbb {Q} )_{\text{tors}}\times \mathbb {Z} ^{r},$

其中 $E(\mathbb {Q} )_{\text{tors}}$ 是扭轉部分，即所有那些不斷與自身相加會「在圓圈中移動」（最終回到零點）的點。 數字 $r$ 由曲線 $E$ 固定確定，是其所屬的一個量，稱為 $E$ 的「代數秩」，通常簡稱為「秩」。它衡量了 $E$ 上有「多少」有理點。例如，在 $r=0$ 的情況下，始終只有有限多個點，而從秩 $r\geq 1$ 開始有無窮多個點，但「無窮大的程度」隨著代數秩的增加而增加。伯奇和斯溫納頓-戴爾猜想對有理數上橢圓曲線的代數秩做出了陳述。

有限體上的橢圓曲線

参见：橢圓曲線 § 有限體上的橢圓曲線

在數學中，體是指一個集合，簡單來說，在其內部可以進行四則運算。其中應適用學校數學中已知的交換律（「加」和「乘」的可交換性）、結合律（「僅加」或「僅乘」時括號的可交換性）和分配律（「展開」和「乘入」）。此外，元素 $0$ 「（加法的單位元）」和 $1$ 「（乘法的單位元）」必須始終是體的一部分。特別是，應該能夠被任何不等於 $0$ 的數除。重要的例子包括實數體（記號：$\mathbb {R}$）或有理數體（記號：$\mathbb {Q}$）。

在精確的數學術語中，$\mathbb {K}$ 是一個體，若且唯若 $\mathbb {K}$ 及 $\mathbb {K} \setminus \{0\}$ 分別構成加法及乘法阿貝爾群，且同時滿足分配律（作為加法和乘法之間的「相容性」）。

除了學校數學中熟知的有理數和實數體外，還存在許多其他例子，甚至包括「有限體」。最簡單的有限體是在選擇任意質數 $p$ 後產生的。如前所述，$\mathbb {F} _{p}:=\mathbb {Z} /p\mathbb {Z}$ 構成一個加法阿貝爾群。但質數性質也允許在 $\mathbb {F} _{p}$ 內進行乘法和除法（除以不等於 $0$ 的數）。例如，若 $p=7$，則 $3$ 是 $5$ 的乘法逆元，因為

$3\cdot 5=15=1+14=1.$

橢圓曲線也可以在體 $\mathbb {F} _{p}$ 上進行研究。在那裡，點加法仍然存在，因為它只需要四則運算。同樣也可以（並且必須）考慮一個「無窮遠」點。對於伯奇和斯溫納頓-戴爾猜想來說，現在至關重要的是考慮「每一個」體 $\mathbb {F} _{2},\mathbb {F} _{3},\mathbb {F} _{5},\mathbb {F} _{7},\ldots$ 等的點數（它們始終是有限的）。簡化曲線 $E(\mathbb {F} _{p})$ 上的點 $(x,y)\in \mathbb {F} _{p}^{2}$ 的數量通常記為 $N_{p}-1$（如果加上無窮遠點，數量正好是 $N_{p}$）。然而，在這個「簡化過程」（Reduction）中必須注意，對於有限數量的質數，可能會產生奇異曲線。 這些整除 $E$ 之判別式的壞質數（bad primes），必須在理論中單獨考慮。

例如

例如
例如：橢圓曲線 $y^{2}=x^{3}+x^{2}-x$ 在體 $\mathbb {F} _{3}=\{0,1,2\}$ 上恰好有五個點，即 $(0,0),(1,1),(2,1),(1,2)$ 和 $(2,2)$（該曲線的判別式為 $80$， 不能被 $3$ 整除，因此簡化後仍是橢圓曲線）。例如在 $\mathbb {F} _{3}$ 中成立： $1=2^{2}=2^{3}+2^{2}-2=10=1$ 因為除以 $3$ 取餘數。所以在這個情況下 $N_{3}-1=5$。

儘管計算非常大的質數 $p$ 的確切數量 $N_{p}$ 是困難的，但存在一個由海爾穆特·哈塞提出的重要定理，它對解的數量 $N_{p}$ 的大小給出了相當精確的概念。對於這些數量，成立

$|N_{p}-1-p|<2{\sqrt {p}}.$

對於非常大的質數 $p$，這意味著點的數量在比例上非常接近 $p$，即 $N_{p}\sim p$ 或

$\lim _{p\to \infty \atop p\,{\text{質數}}}{\frac {N_{p}}{p}}=1.$

猜想的陳述

Bryan Birch 在一次演講中。背景黑板上寫著伯奇和斯溫納頓-戴爾猜想（最後一行）。

以最簡單的形式，伯奇和斯溫納頓-戴爾猜想指出，橢圓曲線的（代數）秩 $r$——一個全域數據——可以從其局部性質——即簡化曲線在有限體 $\mathbb {F} _{p}$ 上的點數 $N_{p}$——中確定。

猜想

猜想：設 $E$ 為有理數上的橢圓曲線，其（代數）秩為 $r$。令 $N_{p}$ 為簡化曲線 $E(\mathbb {F} _{p})$ 上的點數（包括無窮遠點）。則存在常數 $C>0$，使得 $\prod \limits _{p\leq x}{}^{*}{\frac {N_{p}}{p}}\sim C\log(x)^{r}$，其中乘積中的星號表示排除質數 2 和那些整除 $E$ 之判別式的質數。 這裡符號 $\sim$ 表示兩邊對於增長的值 $x$ 漸近地以相同的速度增長，即它們的商在 $x\to \infty$ 時趨向於 1。

背景與解釋

主条目：局部-全域原理

在許多科學領域中，理解系統（粗略地說，許多不同元素的全域相互作用）並能夠進行預測是至關重要的。由於系統在規模上可能非常複雜，研究系統的「局部」方面以期將這些「局部因素」拼湊成「全域理解」可能會有所幫助。由於顯而易見的原因，研究局部方面比研究整個系統更容易，因為對後者的理解也可能解答個別問題。例如，可以嘗試從「普通人」的屬性推斷國家共同體內的動態。另一個例子是通過宏觀經濟學中的模型描述全域經濟關係（例如關注總供給和總需求的AS-AD模型）。

在數論中，一種形式的「局部-全域原理」也是有方法的。待研究的「系統」例如可以是一個方程，如 $y^{2}=x^{3}+x^{2}-x$ 在有理數上，而「對系統的問題」是這在有理數上是否可解。為此，首先要弄清楚哪些「局部因素」構成了數字：根據算術基本定理，已知每個 $\not =0$ 的整數（除符號和因數順序外）可以唯一地分解為質因數。例如：

$12=2\cdot 2\cdot 3,\qquad -255=-3\cdot 5\cdot 17,\qquad -4371834565381=-83\cdot 2207\cdot 23866201.$

如果也允許負指數，這個原則甚至可以推廣到有理數 $\not =0$：

${\frac {12}{5}}=2\cdot 2\cdot 3\cdot 5^{-1},\qquad -{\frac {121}{68}}=-{\frac {11\cdot 11}{2\cdot 2\cdot 17}}=-2^{-2}\cdot 11^{2}\cdot 17^{-1}.$

通過 19 世紀以來代數數論的系統化，人們知道「局部因素」即「質數位」（Prime spots）的「相互作用」可以提供對數字的全域理解。具體來說，這意味著在某些情況下，先在「局部位」（即較容易處理的體 $\mathbb {R}$ 以及 $\mathbb {F} _{2},\mathbb {F} _{3},\mathbb {F} _{5},\ldots$）上研究方程或曲線，有助於獲得關於「全域」（即有理）解的信息。

$\underbrace {\mathbb {Q} } _{\text{全域體}}\quad \longleftrightarrow \quad \underbrace {\mathbb {R} ,\mathbb {F} _{2},\mathbb {F} _{3},\mathbb {F} _{5},\mathbb {F} _{7},\mathbb {F} _{11},\ldots } _{\text{局部位}}$

其中對局部位的觀察可以轉移到局部體。在質數 $p$ 的情況下，這是 $p$-進數體 $\mathbb {Q} _{p}$。

當代數曲線變得「過於複雜」時，局部-全域原理就會失敗。在這種情況下，必須獲取更多信息，以便能夠決定是否存在非平凡的有理點。數學家 Ernst Sejersted Selmer 例如展示了方程 $3x^{3}+4y^{3}+5z^{3}=0$ 在上述意義上對於每個質數都有解，並且也有實數解，但「沒有非平凡」（即 $\not =(0,0,0)$）的有理數解。

伯奇和斯溫納頓-戴爾猜想是針對有理數上橢圓曲線的局部-全域原理的一種變體。它超越了僅僅試圖預測任何有理點的存在。特別是，曲線的代數秩 $r$ 應從其局部數據中確定。更準確地說，該猜想預測了質數位處的曲線與其代數秩之間的聯繫。為了應對局部-全域原理對橢圓曲線的失敗，對質數位信息的要求被加強了。不僅詢問模 $p$ 解的存在性，還詢問「確切數量」。 這裡的核心思想是，具有「非常多」有理點的橢圓曲線，在質數位處的簡化（幾乎總是在有限體上的橢圓曲線）也「應該」傾向於具有許多點 $N_{p}$。推測的公式表明，左側的乘積

$\prod \limits _{p\leq x}{}^{*}{\frac {N_{p}}{p}}\sim C\log(x)^{r}$

隨著秩 $r$ 的增加，對於 $x\to \infty$ 增長得更快，因為對數是一個增長且無界的函數。這正對應於上述直觀：橢圓曲線的秩越高，$N_{p}$ 傾向於取的值就越高。

歷史

早期歷史

橢圓曲線（即虧格為 1 的曲線）背景下的問題在亞歷山大港的丟番圖的著作《算術》中發揮了重要作用。如果一條實直線與橢圓曲線相交於兩點，或者作為切線在一個點「雙重」相交，那麼它也有第三個實交點。如果這兩個交點是有理點，那麼第三個也是。這一事實早已被艾薩克·牛頓發現。特別值得注意的是，在曲線的一個有理點處畫切線會導致該切線在另一個有理點處再次與曲線相交。丟番圖隱含地應用這種方法從一個解得出第二個解。然而，他沒有迭代這個過程。皮埃爾·德·費馬是第一個認識到這種方式有時可以獲得無窮多個解的人。此外，費馬引入了「無窮遞降法」，該方法有時可用於證明解的數量是有限的甚至是零。

20 世紀

早在 1901 年，數學家昂利·龐加萊就詢問了當橢圓曲線 $E$ 變化時，代數秩可能取哪些值。 龐加萊的問題在莫德爾-韋伊定理證明之後才被認為是定義明確的，因為在 20 世紀初，甚至連有理點集是否構成有限生成阿貝爾群都不清楚。

Peter Swinnerton-Dyer 於上沃爾法赫數學研究所，2007年

該猜想首次由布萊恩·貝赫和彼得·斯維訥通-戴爾在他們 1965 年的論文《關於橢圓曲線的筆記 II》（*Notes on elliptic curves II*）中提出。 他們的猜想基於從 1958 年開始在 EDSAC 電腦上進行的一系列計算，這些計算從 1962 年開始公開，並在科學界引起了驚訝的波瀾。

這些計算旨在發現一種類似於狄利克雷的類數公式的橢圓曲線理論。背景是可以為每個數體 $K$ 分配一個 Zeta函數 $\zeta _{K}(s)$，即 $K$ 的「戴德金Zeta函數」。它擁有到 $\mathbb {C}$ 的亞純延拓，滿足一個泛函方程，並在點 $s=1$ 處編碼了 $K$ 的重要算術不變量。所謂的「類數公式」成立

$\lim _{s\to 1}(s-1)\zeta _{K}(s)={\frac {h_{K}2^{r_{1}}(2\pi )^{r_{2}}\operatorname {Reg} _{K}}{w_{K}{\sqrt {|D_{K}|}}}}$.

其中：

• $h_{K}$ 是 $K$ 的類數，
• $r_{1}$ 和 $2r_{2}$ 是 $K$ 的實嵌入和複嵌入的數量，
• $w_{K}$ 是 $K$ 中單位根的數量，
• $\operatorname {Reg} _{K}$ 是 $K$ 的狄利克雷調節器，
• $D_{K}$ 是 $K$ 的判別式。

因此，一個很自然的猜想是，與橢圓曲線 $E$ 相關聯的 L-函數 $L(E,s)$ 也應該說明其算術不變量的一些信息。其中一個不變量就是它的代數秩。

21 世紀：宣佈為千禧年大獎難題

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Arthur Jaffe

早在 1998 年，商人 Landon T. Clay 和數學家 Arthur Jaffe 就創立了克雷數學研究所（CMI）， Jaffe 在 1998 年至 2011 年期間也擔任首任所長。為了紀念希爾伯特在 1900 年巴黎大會上的演講一百週年，CMI 於 2000 年 5 月在法蘭西公學院舉辦了為期兩天的會議。會上宣佈設立 700 萬美元的基金，將為解決七個重大數學問題（即所謂的「千禧年大獎難題」）各提供 100 萬美元的獎金。 獲獎名單最終在 6 月公佈，根據 CMI 的說法，設立該獎項是為了：

1. 表彰數學家在千禧年之際面臨的一些最困難的問題，
2. 強調從事真正困難問題研究的重要性，以及
3. 讓更多人知道數學中仍然存在困難、重大的問題。

由於 20 世紀沒有找到伯奇和斯溫納頓-戴爾猜想的證明，這個項目被宣佈為千禧年大獎難題之一。

為了頒發獎金，相關工作必須已經發表，並且經過 2 年的冷靜期後，獲得數學界的廣泛認可。 在頒獎規則中，還有一條關於反例作用的條款。對於伯奇和斯溫納頓-戴爾猜想，反例將是有理數上的橢圓曲線，滿足：

${\text{（ 代 數 ） 秩}}\not ={\text{解 析 秩 }}$

這可以通過單獨檢查（單一）曲線來發現。如果 CMI 認為反例確實解決了問題，CMI 可以宣佈頒發大獎。然而，如果反例表明原問題在重新表述或消除特例後仍然存在，CMI 只能授予作者一小筆獎金，金額由 CMI 自行決定。這筆獎金將不從問題基金中提取，而是從其他 CMI 基金中提取。

關於 L-函數的表述

在 20 世紀末，通過巨大的努力，在模形式定理的框架下證明了可以為橢圓曲線分配一個數學函數，即其所謂的「L-函數」，該函數定義在實數（甚至複數）上，並在那裡具有「非常好的解析性質」，如可微性。伯奇和斯溫納頓-戴爾猜想現在指出，這個 L-函數「知道」橢圓曲線上有理點的數量：它由 $x=1$ 處零點的階數編碼。這裡的階數意味著「函數項中因子 $(x-1)$ 的頻率」；在這個意義上，函數 $x\mapsto 3x(x-1)^{4}$ 在 $x=1$ 處有一個 4 階零點。猜想認為，階數越高，橢圓曲線上的有理點就「越多」。

為了全面理解橢圓曲線的L函數，需要用到複數。然而，其動機和構造以及伯奇和斯溫納頓-戴爾猜想的表述也可以通過學校數學中已知的實數來實現。

模形式定理

主条目：模形式定理

對於每一個定義在 $\mathbb {Q}$ 上的層（Level）為 $N$ 的橢圓曲線 $E$，都可以關聯一個L-函數 $L(E,s)$，作為一個解析對象，它編碼了所有的算術性質。它具有如下的歐拉乘積表示：

$L(E,s)=\prod _{p\mid N}\left(1-a_{p}p^{-s}\right)^{-1}\prod _{p\not \mid N}\left(1-a_{p}p^{-s}+p^{1-2s}\right)^{-1},\qquad \mathrm {Re} (s)>{\tfrac {3}{2}},$

其中對於具有「好約化」（good reduction）的質數，$a_{p}$ 由 $p-\#E(\mathbb {F} _{p})=p+1-N_{p}$ 給出，$E(\mathbb {F} _{p})$ 表示模 $p$ 的解集 $(x,y)\in \mathbb {F} _{p}^{2}$。對於具有「壞約化」（bad reduction）的質數，則選擇類似的定義。 如果曲線的係數不是整數，則必須先通過射影坐標進行初等變換。 L-函數也可以針對任意數體 $K$ 上的橢圓曲線 $E/K$ 進行定義。

安德魯·懷爾斯和其他人通過證明模形式定理，成功確認了 $L(E,s)$ 可以延拓為一個整函數並滿足一個泛函方程的說法：事實上，$L(E,s)$ 對應於一個權重為 2 的模形式 $f_{E}(z)$，其層（Level）與橢圓曲線的導子（Conductor）相同。特別是，$f_{E}$ 是關於同餘子群 $\Gamma _{0}(N)$ 的所謂赫克-特徵形式（Hecke Eigenform）。$L(E,s)$ 和 $f_{E}(z)$ 之間的聯繫可以通過經典的梅林變換公式化得出：

$\Lambda (E,s):=(2\pi )^{-s}N^{\frac {s}{2}}\Gamma (s)L(E,s)=N^{\frac {s}{2}}\int _{0}^{\infty }f_{E}(it)t^{s-1}\mathrm {d} t.$

泛函方程則為：

$\Lambda (E,2-s)=\operatorname {sgn}(E,\mathbb {Q} )\Lambda (E,s),$

其中符號 $\operatorname {sgn}(E,\mathbb {Q} )\in \{\pm 1\}$ 對於 $E(\mathbb {Q} )$ 的算術扮演重要角色。例如，如果 $\operatorname {sgn}(E,\mathbb {Q} )$ 取值 $+1$ 或 $-1$，則 $\Lambda (E,s)$ 在 $s=1$ 處分別以偶數或奇數階消失（即零點階數為偶數或奇數）。

解析秩

橢圓曲線 $E$ 的「解析秩」現在定義為 $L(E,s)$ 在點 $s=1$ 處的零點階數。 這也被稱為 $L(E,s)$ 的「臨界點」。伯奇和斯溫納頓-戴爾猜想指出，$E$ 的解析秩和代數秩是「相同的」。

猜想：設 $E$ 為定義在有理數上的橢圓曲線。若 $E(\mathbb {Q} )\cong E(\mathbb {Q} )_{\mathrm {tors} }\times \mathbb {Z} ^{r}$，則 $r=\mathrm {ord} _{s=1}L(E,s)$。

強猜想

伯奇和斯溫納頓-戴爾猜想的強形式還對項 $(s-1)^{-r}L(E,s)$ 在 $s=1$ 處的值做出了預測。正如類數公式一樣，假設該值編碼了曲線 $E$ 的重要算術不變量。其中一個特徵量是所謂的泰特-沙法列維奇群（Tate-Shafarevich group）$\mathrm {Sha} (E)$。簡單來說，它表示了「局部-全域原理」在橢圓曲線 $E$ 上失效的程度。

數學上，這可以嚴格表述如下：

設 $E$ 是有理數上的橢圓曲線，$K$ 是一個數體（具有代數閉包 ${\overline {K}}$），從數論的角度來看，理解 $E$ 上 $K$-有理點的莫德爾-韋伊群 $E(K)$ 和泰特-沙法列維奇群 $\mathrm {Sha} (E/K)$ 是很有意義的。若對於整數 $n$，$G[n]$ 表示群 $G$ 的子群，使得對每個 $P\in G$ 都有 $nP=0$，則以下序列是正合的：

$0\longrightarrow E({\overline {K}})[n]\longrightarrow E({\overline {K}})\ {\overset {n}{\longrightarrow }}\ E({\overline {K}})\ \longrightarrow \ 0$.

通過與 $G_{K}=\mathrm {Gal} ({\overline {K}}/K)$ 建立伽羅瓦上同調，由此產生以下正合序列：

$0\ \longrightarrow E(K)[n]\ \longrightarrow E(K)\ {\overset {n}{\longrightarrow }}\ E(K)\ {\overset {\delta }{\longrightarrow }}\ H^{1}(G_{K},E({\overline {K}})[n])\ \longrightarrow \ H^{1}(G_{K},E({\overline {K}}))\ {\overset {n}{\longrightarrow }}\ H^{1}(G_{K},E({\overline {K}})),$

最終導出短正合序列

$0\longrightarrow E(K)/nE(K)\longrightarrow H^{1}(G_{K},E({\overline {K}})[n])\longrightarrow H^{1}(G_{K},E({\overline {K}}))[n]\longrightarrow 0$

這稱為「下降序列」（descent sequence）。現在可以按照局部-全域原理進行處理。 由此最終定義：

$\mathrm {Sha} (E/K):=\mathrm {ker} \left(H^{1}(G_{K},E({\overline {K}}))\longrightarrow \prod _{v}H^{1}(G_{K},E({\overline {K_{v}}}))\right)$

其中每個 $v$ 對應 $K$ 的一個位（Place）。群 $H^{1}(G_{K},E({\overline {K}}))$ 的每個元素「對應」於 $E/K$ 上的一類齊次空間——意指光滑曲線 $C/K$，代數群 $E$ 在其上定義了一個 $K$ 運算。這些類是通過與 $E$ 的作用兼容的同構來確定的。當且僅當 $E/K$ 擁有任何 $K$-有理點時，一個類是平凡的。

如果對上述正合序列中的後部上同調群進行適當限制，會再次得到正合序列

$0\longrightarrow E(K)/nE(K)\longrightarrow \mathrm {Sel} _{n}(E/K)\longrightarrow \mathrm {Sha} (E/K)[n]\longrightarrow 0.$

這裡 $\mathrm {Sel} _{n}(E/K)$ 表示所謂的 $n$-塞爾摩群（Selmer group）。定義如下：

$\mathrm {Sel} _{n}(E/K):=\mathrm {ker} \left(H^{1}(G_{K},E({\overline {K}})[n])\longrightarrow \prod _{v}H^{1}(G_{K_{v}},E({\overline {K_{v}}}))\right)$

雖然眾所周知 $n$-塞爾摩群 $\mathrm {Sel} _{n}(E/K)$ 始終是有限的（由此可推導出群 $E(K)/nE(K)$ 始終有限，這是證明 $E(K)$ 是有限生成阿貝爾群的重要一步），但泰特-沙法列維奇群通常仍然很神祕。人們猜測群 $E(K)/nE(K)$ 和 $\mathrm {Sel} _{n}(E/K)$ 僅相差一個與 $n$ 無關的有限量，並且在無窮多種情況下甚至相等。如果 $\mathrm {Sha} (E/K)$ 是有限的，情況就會是這樣，但這一點至今尚未被證明。 $\mathrm {Sha} (E/K)$ 的有限性是（強）伯奇和斯溫納頓-戴爾猜想的一部分，並且在數論上具有重大意義：根據定義，其大小編碼了局部-全域原理在橢圓曲線 $E$ 上失效的程度。

強伯奇和斯溫納頓-戴爾猜想：設 $E$ 為有理數上的橢圓曲線，代數秩為 $r$，導子為 $N$。則成立 $\lim _{s\to 1}(s-1)^{-r}L(E,s)={\frac {L^{(r)}(E,1)}{r!}}=\omega _{1}(E){\tfrac {|\mathrm {Sha} (E)|R(E)c_{\infty }(E)\prod _{p|N}c_{p}(E)}{|E(\mathbb {Q} )_{\mathrm {tors} }|^{2}}}$，其中 $\omega _{1}(E)$ 是 $E$ 的實週期（參見魏爾斯特拉斯 p-函數），$R(E)$ 是 $E$ 的所謂調節器（Regulator，一個幾何不變量），$e_{\infty }(E)$ 是 $E(\mathbb {R} )$（視為拓撲空間）的連通分量數量，而 $c_{p}(E)$ 是簡化 $E/\mathbb {Q} _{p}$ 的所謂玉河數（Tamagawa numbers，參見p-進數），是可快速計算的整數。

重要性

橢圓曲線秩的計算

如果伯奇和斯溫納頓-戴爾猜想成立，那麼橢圓曲線的秩可以通過算法確定。除了費馬的下降法和黑格納點（Heegner point）方法外，計算「解析」秩是最常見的方法之一。這裡必須假設伯奇和斯溫納頓-戴爾猜想成立，因為它指出解析秩等於代數秩。前者明顯更容易計算，而後者才是真正感興趣的，即「應該」被計算的量。 例如，懷爾斯已經展示的橢圓曲線的模性質在某些地方有所幫助。可以通過算法確定 $L(E,s)$ 泛函方程中的符號 $\operatorname {sgn}(E,\mathbb {Q} )$；同時也成立 $(-1)^{r}=\operatorname {sgn}(E,\mathbb {Q} )$，因此可以計算秩的奇偶性。

儘管計算解析秩明顯比代數秩容易，但在這裡也會出現困難，特別是對於高秩 $r\geq 4$。 然而，如果確實證明了對於所有 $0\leq n\leq r-1$ 都有 $L^{(n)}(E,1)=0$，那麼臨界量

${\frac {L^{(r)}(E,1)}{r!}}=2\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {a_{n}(E)}{n}}\Gamma _{r}\left(1,{\frac {2\pi n}{\sqrt {N}}}\right)$

可以從狄利克雷級數 $L(E,s)$ 的係數 $a_{n}(E)$ 和廣義不完全伽瑪函數計算出來，後者通過遞歸定義如下：

$\Gamma _{-1}(s,x):=e^{-x}x^{s}\quad$ 和 $\quad \Gamma _{r}(x,s):=\int _{x}^{\infty }{\frac {\Gamma _{r-1}(s,t)}{t}}\mathrm {d} t\quad (r\geq 0)$

其中 $N$ 是 $E$ 的導子。這個公式有效性的關鍵在於源自模形式定理的 $L(E,s)$ 的泛函方程。然而，伽瑪值的數值精確計算構成了另一個障礙。這裡通常區分小函數值（特別是在大導子的情況下起著越來越重要的作用）和大函數值，並且在兩種情況下採用方法上非常不同的處理方式。 對於小值 $x$，可以使用以下形式的表示

$\Gamma _{r}(1,x)=\sum _{k=0}^{r}a_{k}{\frac {\log(x)^{r-k}}{(r-k)!}}-e^{-x}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}A_{r}(n)$

這裡令

$\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}x^{k}:=\exp \left(\gamma x+\sum _{k=2}^{\infty }{\frac {\zeta (k)}{k}}x^{k}\right)$

其中包含黎曼Zeta函數 $\zeta (s)$ 以及 歐拉-馬斯刻若尼常數 $\gamma$ 和

$\sum _{k=0}^{\infty }A_{k}(n)x^{k}:=\exp \left(\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {H_{k}(n)}{k}}x^{k}\right)\quad (n\geq 1)$

其中包含廣義調和數 $\textstyle H_{k}(n):=\sum _{j=1}^{n}{\frac {1}{j^{k}}}.$ 相反，對於大 $|x|\gg 1$，使用漸近展開

$\Gamma _{r}(1,x)\sim e^{-x}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+r+1}n!C_{r-1}(n)}{x^{n+1}}},$

其中值 $C_{k}(n)$ 定義為

$\sum _{k=0}^{\infty }C_{k}(n)x^{k}:=\exp \left(\sum _{k=1}^{\infty }(-1)^{k-1}{\frac {H_{k}(n)}{k}}x^{k}\right)\quad (n\geq 1)$

。

同餘數

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面積為 6 的三角形，6 是一個同餘數

同餘數是一個有理數 $r$，它是邊長 $a,b,c$ 全為有理數的直角三角形的面積。始終存在一個數 $s\in \mathbb {Q}$，使得 $s^{2}r$ 是一個無平方因子的整數（即不被除 1 以外的任何平方數「整除」的數）。然而，對應的邊長為 $sa,sb,sc$ 的三角形面積為 $s^{2}r$，因此不失一般性，可以選擇 $r=n$ 為無平方因子的整數。儘管如此，仍需注意並不要求三角形的邊長本身是整數。雖然 $n=6$ 是可以實現這一點的最小同餘數（見圖），但 $n=5$ 也是一個同餘數，其邊長為

$a={\frac {3}{2}},\quad b={\frac {20}{3}},\quad c={\frac {23}{3}}.$

雖然理論上存在計算所有同餘數的算法，但不知道該過程需要「多長時間」，例如決定一個「特定數字」是否是同餘數。 然而，可以用「初等方式」證明，$n$ 是同餘數「若且唯若」相關的橢圓曲線

$E_{n}\colon y^{2}=x^{3}-n^{2}x$

擁有無窮多個有理點。 通過 John Coates 和 Andrew Wiles 的深刻結果已知，如果 $E_{n}$ 確實有無窮多個有理點，則必然有 $L(E_{n},1)=0$。因此反之，若 $L(E_{n},1)\not =0$，則 $n$ 不可能是同餘數。伯奇和斯溫納頓-戴爾猜想提供了另一個方向：如果 $L(E_{n},1)=0$，則 $E_{n}$ 有無窮多個有理點，且 $n$ 是一個同餘數。

Jerrold Tunnell 還能夠找到以下定理，提供了同餘數的基本「刻畫」：如果 $n$ 是無平方因子的同餘數，則

${\begin{cases}\left|\left\{(x,y,z)\in \mathbb {Z} ^{3}\colon n=2x^{2}+y^{2}+32z^{2}\right\}\right|&={\frac {1}{2}}\left|\left\{(x,y,z)\in \mathbb {Z} ^{3}\colon n=2x^{2}+y^{2}+8z^{2}\right\}\right|,&\qquad {\text{若 }}n{\text{ 為奇數}},\\\left|\left\{(x,y,z)\in \mathbb {Z} ^{3}\colon {\frac {n}{2}}=4x^{2}+y^{2}+32z^{2}\right\}\right|&={\frac {1}{2}}\left|\left\{(x,y,z)\in \mathbb {Z} ^{3}\colon {\frac {n}{2}}=4x^{2}+y^{2}+8z^{2}\right\}\right|,&\qquad {\text{若 }}n{\text{ 為偶數}}.\\\end{cases}}$

如果伯奇和斯溫納頓-戴爾猜想對橢圓曲線 $E_{n}$ 成立，那麼反方向也成立，即：從上述集合基數之間的等式可以推導出 $n$ 的同餘性。Benedict Gross 和 Don Zagier 於 1983 年證明，$E_{n}$ 中的一個大族確實滿足伯奇和斯溫納頓-戴爾猜想。

1975 年，Nelson Stephens 證明，如果伯奇和斯溫納頓-戴爾猜想成立，那麼對於每個 $n\equiv 5,6,7{\pmod {8}}$ 的數，橢圓曲線 $E_{n}$ 具有「奇數」秩。因此秩必須自動為正（因為 0 是偶數），從而 $n$ 是一個同餘數。

通過 $E_{n}$ 曲線上無限階的有理點，可以確定同餘三角形的對應邊長。即使對於相對較小的 $n$，這些邊長也可能非常複雜。在同餘數 $n=157$ 的情況下，通過黑格納點方法（該方法「若且唯若」曲線秩為 1 時適用），可以得到曲線 $y^{2}=x^{3}-157^{2}x$ 上如下的有理點：

$(x,y)=\left({\frac {95732359354501581258364453}{277487787329244632169121}},{\frac {834062764128948944072857085701103222940}{146172545791721526568155259438196081}}\right).$

根據上述 Tunnell 定理，這個有理點證明了對於 $n=157$ 存在一個直角三角形，其邊長完全是「有理數」且面積為 $157$。 由 Don Zagier 計算的對應直角三角形的邊長（$a,b$ 為股，$c$ 為斜邊）為：

$a={\frac {411340519227716149383203}{21666555693714761309610}}$, $b={\frac {6803298487826435051217540}{411340519227716149383203}}$ 和 $c={\frac {224403517704336969924557513090674863160948472041}{8912332268928859588025535178967163570016480830}}.$

質數分解為兩個立方數

數論中的一個問題是正整數分解為冪的可能性。例如，勒讓德的四平方和定理指出，每個正整數都可以寫成四個平方數之和。 例如

$24=16+4+4+0=4^{2}+2^{2}+2^{2}+0^{2},$

$111\,111=333^{2}+14^{2}+5^{2}+1^{2}.$

值得注意的是，所有可以寫成兩個平方和的質數都已被刻畫。如果質數 $p$ 的形式為 $p=4k+1$（即 $p-1$ 可被 4 整除），則 $p$ 「總是」兩個平方數之和。例如

$5=1^{2}+2^{2},\quad 13=2^{2}+3^{2},\quad 17=1^{2}+4^{2},\quad 29=2^{2}+5^{2},\quad 37=1^{2}+6^{2},\quad 41=4^{2}+5^{2},\quad 53=2^{2}+7^{2},\quad 61=5^{2}+6^{2}.$

同時，滿足 $p-3$ 被 4 整除的質數 $p$ 「絕非」兩個平方數之和，參見二平方和定理。

對於立方數來說，類似的問題要困難得多。詹姆斯·約瑟夫·西爾維斯特在 19 世紀就已經研究過哪些質數是兩個立方數之和的問題。雖然在平方的情況下，有理平方和整數平方的可分解性是「重合的」，即一個意味著另一個（儘管在前一種情況下，如果存在表示，本質上是唯一的，而在後一種情況下有無窮多種），但在立方數的情況下，問題首先只在有理數範圍內考慮，因為至今還沒有已知的規則來決定哪些數字可以分解為整數立方數。關於這個問題的一個重要觀察是，對於所有質數 $p>2$，橢圓曲線

$E_{p}\colon x^{3}+y^{3}=p$

的有理點 $E_{p}(\mathbb {Q} )$ 沒有扭轉點。因此，如果存在 $p$ 分解為兩個有理立方數，那麼必然有無窮多個解。與伯奇和斯溫納頓-戴爾猜想的聯繫在於考慮 $L(E_{p},s)$ 在 $s=1$ 處的情況。根據 John Coates 和 Andrew Wiles 的一個定理，從 $L(E_{p},1)\not =0$ 可以推導出 $E_{p}$ 的秩為 0，因此 $p$ 不可能分解為兩個有理立方數。從 $L(E_{p},s)$ 泛函方程中的負號已知，在 $p\equiv 4,7,8{\pmod {9}}$ 的情況下，已經成立 $L(E_{p},1)=0$。已知在 $p\equiv 4,7{\pmod {9}}$ 的情況下，$E_{p}$ 的秩 $r_{p}$ 為 1，因此這些質數存在無窮多種分解。 例如：

$13=\left({\frac {2}{3}}\right)^{3}+\left({\frac {7}{3}}\right)^{3}.$

對於 $p\equiv 8{\pmod {9}}$，這通常是未知的。相反，根據 Coates 和 Wiles 的定理，質數 $p\equiv 2,5{\pmod {9}}$ 永遠不能是兩個有理立方數之和，因為這裡可以證明 $L(E_{p},1)\not =0$。最後，在 $p\equiv 1{\pmod {9}}$ 的情況下，答案可能會有所不同：秩 0 和 2 都是可能的。然而，F. Villegas 的一個定理為這些質數提供了一個判據。

虧格 1 曲線上的有理點

橢圓曲線之所以成為有理數上的焦點，是因為它們構成了唯一一類既可以有有限多個，也可以有無窮多個有理點的「曲線類別」。

早在 19 世紀，人們就注意到，如果將曲線放在複數上考慮，它們會變成曲面。如果將曲線上的所有點 $(x,y)$ 收集到 $\mathbb {C} \times \mathbb {C}$ 內的圖形中（即 $x$ 和 $y$ 是複數，而空間 $\mathbb {C} \times \mathbb {C}$ 作為兩個平面的乘積是實 4 維的），就會產生一個表面。這個表面延伸到無窮遠，但可以通過添加一個無窮遠點來「封閉」（數學家稱之為緊緻化）。結果是一個完全連通的表面，局部看起來總像一個平面，並且沒有邊界，就像地球表面（或球體表面）一樣。現在的問題是，這些表面看起來是什麼樣的。

• 
  地球表面是緊緻黎曼曲面的一個例子：它是連通的（作為「單個行星」，它不包含兩個或更多分離的部分，如太陽系那樣），是開的（每個點都是「內點」），也是閉的（在其上進行再長的行走也不會「走出去」），是有界的且沒有邊界（如果去掉內點，什麼都不剩）。此外，如果「局部」站在某一點上（例如作為相對較小的人甚至只是螞蟻等），它看起來越來越像站在一個平面上。
• 
  添加一個無窮遠點 $\infty$ 後，從拓撲角度看，數線變成了一個圓。
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  橢圓曲線 $y^{2}=x^{3}+x^{2}-x$ 的圖示。利用左圖完全相同的想法，右邊的線可以在無窮遠點處變成一個圓。從而產生兩個圓形圖形（從拓撲角度看即為圓）。
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  在複數上，橢圓曲線看起來完全像一個環面，即一個包圍「一個洞」的管子。實數圖示是環面的橫截面，即恰好兩個圓。這也是緊緻黎曼曲面的一個例子：連通；無邊界；開且閉；有界；局部看起來像平面。與球面的「決定性區別」在於「洞」的存在。

代數曲線可以通過其虧格來區分，但要注意，不同虧格的曲線必然不同，但仍可能存在具有「相同」虧格的不同曲線。在複數情況下，這與拓撲曲面虧格（「洞的數量」）重合。橢圓曲線的虧格為 $g=1$（因為環面恰好有一個洞）。根據格爾德·法爾廷斯證明的莫德爾猜想，虧格 $g=0$ 的曲線（「像地球表面」，包括直線和二次曲線）如果有一個有理點，就已經有無窮多個有理點， 而虧格 $g\geq 2$ 的曲線始終「只有有限多個」有理點。 因此，橢圓曲線 $0<g=1<2$ 屬於一個「中間世界」，兩種情況都可能發生。從數學角度來看，法爾廷斯的證明是一個巨大的突破，因為曲線的「拓撲」（即「空間」）性質說明了其數論性質。證明的一個關鍵工具是以他命名的法爾廷斯高度，這是皮埃爾·德·費馬引入的無窮遞降原理的一個非常深遠的推廣：在某些情況下，可以從一個潛在的解構造出無窮多個新解鏈，但這對應於一個同樣無窮的遞減自然數鏈，這是荒謬的：例如，遞減過程

$237>236>231>199>\cdots \geq 0$

不能用無窮多個自然數填充。例如，「法爾廷斯定理」指出，虧格為 $g=15$ 的曲線

$x^{7}+y^{7}=1$

只有有限多個有理點，包括平凡解 $(1,0)$ 和 $(0,1)$。通過費馬大定理的證明，可以排除更多的有理數解。由於他的成就，法爾廷斯於 1986 年成為第一位獲得數學界「諾貝爾獎」——菲爾茲獎的德國人。 然而，所應用的方法不能應用於橢圓曲線，因此關於有理點（無）窮性的情況在這裡至今仍未解決。

• 
  德國數學家格爾德·法爾廷斯在有理數上較高虧格曲線（如右兩圖的超橢圓曲線）方面提供了突破性的結果。
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  超橢圓曲線 $y^{2}=x(x+1)(x-3)(x+2)(x-2)$ 的實數圖示。如果將其延續到複數中，圓形結構將變成具有兩個洞的管子的一部分。
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  在複數中，添加無窮遠點後，圖形具有這種形狀。管子形成一個封閉的結構，有兩個洞。

啟發式論證

數學家尼爾·科布利茨（Neal Koblitz）提出了一個啟發式論證，指向伯奇和斯溫納頓-戴爾猜想弱形式的正確性，但他本人也指出這距離嚴格的證明還「很遠」。如果假設 $L(E,s)$ 的歐拉乘積在 $s=1$ 時代表該函數（事實上並非如此！），我們將會有：

$L(E,1)=\prod _{p\ {\text{質數}}}{\frac {1}{1-{\frac {a_{p}(E)}{p}}+{\frac {1}{p}}}}=\prod _{p\ {\text{質數}}}{\frac {p}{p+1-a_{p}(E)}}=\prod _{p\ {\text{質數}}}{\frac {p}{N_{p}(E)}},$

其中 $N_{p}(E)=p+1-a_{p}(E)$ 表示 $E$ 在 $\mathbb {F} _{p}$ 上的點數。當質數 $p$ 變化時，根據哈塞定理（Hasse's Theorem），$N_{p}(E)$ 的值在 $p$ 附近的區間長度 $2{\sqrt {p}}$ 內「分佈」。粗略地說，$N_{p}(E)\approx p\pm {\sqrt {p}}$。如果這呈現出一種「振盪模式」，即向一個方向和另一個方向的波動數量大致相等，人們可以推斷出該乘積「收斂」到一個不為 $0$ 的極限值。然而，如果 $N_{p}(E)$ 有傾向於在「較大的一側」即 $p+{\sqrt {p}}$，我們將得到：

$L(E,1)\approx \prod _{p\ {\text{質數}}}{\frac {p}{p+{\sqrt {p}}}}=\prod _{p\ {\text{質數}}}{\frac {1}{1+{\frac {1}{p^{\frac {1}{2}}}}}}=0$

這個啟發式論證現在得出的結論是：如果 $E$ 有無窮多個有理點，預期它們模 $p$ 的約化（reduction）總是會導致一個較大的 $N_{p}(E)$ 數值。反之，如果 $E$ 只有有限多個有理點，它們對 $N_{p}(E)$ 的貢獻將是可以忽略的，因此結果將是一種更「隨機」的、即波動的行為 $N_{p}(E)\approx p\pm {\sqrt {p}}$。

研究歷史

部分結果

該猜想目前僅在特定情況下被證明。對於代數秩 $r>1$ 的曲線，至今尚未證明任何突破性的結果。例如，存在代數秩為 $4$ 的曲線 $E$ 的無限族，使得 $L(E,s)$ 的泛函方程中的符號 $\operatorname {sgn}(E,\mathbb {Q} )=1$。這時必須滿足 $L'(E,1)=L(E,1)=0$（照慣例，撇號表示函數的高階導數），並且已知解析秩至少為 $2$。該猜想將蘊含 $L''(E,1)=0$ 和 $L(E,1)\not =0$，但目前尚不知如何證明這一點。數學家亨利·科恩（Henri Cohen）認為，即便是證明「一條單一曲線」的這一事實，也值得獲得菲爾茲獎。

對於該猜想的正確性，存在強有力的數值論據。

複乘

「複乘」（Complex Multiplication）是一種特殊的性質，只有相對較少數量的（有理數上的）橢圓曲線擁有此性質。它表示曲線上的點不僅可以被整數倍增（即 $3P=P+P+P$），還可以與某些非實數進行「乘法」運算。因此，與曲線 $E$ 相關聯的內同態環不與 $\mathbb {Z}$ 同構，而是與一個虛二次域的序（Order）同構。

1976年，約翰·科茨（John Coates）和他的學生安德魯·懷爾斯（Andrew Wiles）證明，如果 $E$ 是一條具有複乘性質的橢圓曲線且擁有無窮多個有理點，則 $L(E,1)=0$ 成立。他們針對虛二次數域 $K$ 證明了這一點——複乘中的因子正是來自於此。 他們的證明策略基於這樣一個事實：可以從 $L(E,1)$ 中分解出一個熟知的代數數 $L^{*}(E,1)$。隨後證明，在該定理的假設下，這個數可以被無窮多個質元素整除，這只對零適用。

Nicole Claudine Arthaud-Kuhman 在她的博士論文中將 Coates-Wiles 的結果推廣到了 $\mathbb {Q}$ 的所有阿貝爾擴張（帶有某些附加條件）。

Gross、Zagier 與 Kolyvagin 的定理

1983年，本尼迪克特·格羅斯（Benedict Gross）和唐·察吉爾（Don Zagier）證明，如果模橢圓曲線 $E$ 的 L-函數在 $s=1$ 處有一個「一階」零點，則在 $E$ 上存在一個無限階的有理點，即代數秩至少為 1。「模」（Modular）意味著模 $p$ 的解的數量也可以從模形式的傅立葉係數得出，或者更準確地說，僅用這些解的數量就可以構建一個模形式。模橢圓曲線也被稱為「韋伊曲線」（Weil curves）。上述條件意味著 $E$ 上的一個無限階點以Heegner點的跡的形式出現。有趣的是，這也提供了一個顯式計算該點的演算法。在當時，這是同類結果中的首例。

1990年，維克托·科利瓦金（Victor Kolyvagin）證明，對於模橢圓曲線，若 $L(E,1)$ 在 $s=1$ 處有一階零點，則秩 $r=1$。此外，他同樣針對模曲線證明，若 $L$ 在該處沒有零點，則 $r=0$。更確切地說，他證明了這些控制了 Mordell-Weil 群和 Selmer 群。 這個結果令人驚訝，因為例如 Shafarevich-Tate 群的有限性（這是結論的一部分）一般來說遠未得到解決，並且是深刻猜想（正是伯奇和斯溫納頓-戴爾猜想）的主題。

Kolyvagin 的定理可以與 Gross 和 Zagier 的結果結合起來，解決 $\mathrm {ord} _{s=1}L(E,s)\leq 1$ 情況下的伯奇和斯溫納頓-戴爾猜想。如果滿足此條件，則可以推導出 $\mathrm {rang} (E(\mathbb {Q} ))=\mathrm {ord} _{s=1}L(E,s)$，且在這兩種情況下，Shafarevich-Tate 群都是有限的。這兩項結果所融入的證明利用了與特徵 $\varepsilon$ 扭轉（twist）的 L-函數 $L(E,\varepsilon ,s)$ 的技術性質。 對於他的證明，Kolyvagin 還利用了所謂的 Heegner 系統的性質。

目前認為，Heegner 點方法對於代數秩 $r>1$ 的失效，是導致所有針對更高秩的伯奇和斯溫納頓-戴爾猜想證明嘗試失敗的「根本原因」。

卡爾·魯賓的工作

1987年，卡爾·魯賓（Karl Rubin）證明，在複乘的情況下，若 $r\geq 2$，則 $\mathrm {ord} _{s=1}L(E,s)\geq 2$ 成立。 此外，Rubin 給出了第一批 Shafarevich-Tate 群確實有限的曲線範例，例如

$y^{2}=x^{3}+17x\quad \quad \,\,$ 其中 $\quad \mathrm {Sha} (E)\cong \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} \times \mathbb {Z} /2\mathbb {Z}$,

$y^{2}=x^{3}-2^{8}3^{4}5^{2}\quad$ 其中 $\quad \mathrm {Sha} (E)\cong \mathbb {Z} /3\mathbb {Z} \times \mathbb {Z} /3\mathbb {Z}$.

奇偶性

Jan Nekovář 在 2000 年左右提出了一種關於 Selmer 群和複形的猜想的上同調版本，並在 2002 年左右證明了該猜想「模 2」（奇偶性 2）是正確的，並且存在關於更高奇偶性的猜想。Nekovář 還將 BSD 猜想推廣到零點階數大於 1 的情況（Plectic Conjecture）。

機率性部分結果

儘管猜想尚未被證明，但 Manjul Bhargava、Arul Shankar、Christopher Skinner 和 張偉（Wei Zhang）在機率性結果方面取得了一些進展。 也就是說，他們給出了關於「百分之多少」的橢圓曲線滿足該猜想的估計。這間接地也與關於秩分佈的陳述有關。例如，Bhargava 和 Shankar 證明了橢圓曲線的平均秩小於 0.885。此外，他們還證明了 66% 的橢圓曲線確實滿足該猜想。

為了能將「機率」的概念有意義地應用於無限數量的對象，必須首先定義一種「自然排序」。在形如

$E_{A,B}\colon y^{2}=x^{3}+Ax+B$

的橢圓曲線情況下，這是可能的，其中 $A$ 和 $B$ 是整數，且具有如下性質：對於任何質數 $p$，若 $p^{4}|A$，則 $p^{6}\nmid B$。這種形式稱為「極小形式」（minimal），任何橢圓曲線 $E/\mathbb {Q}$ 都 $\mathbb {Q}$-同構於一個唯一確定的 $E_{A,B}$（因此計算 $E_{A,B}$ 就足夠了，因為秩在 $\mathbb {Q}$ 同構下保持不變）。現在在極小曲線 $E_{A,B}$ 上定義一個高度函數

$H(E_{A,B}):=\max\{4|A|^{3},27B^{2}\}.$

人們推測秩為 0 和 1 的橢圓曲線呈現「50:50 分佈」，即對於 $r\in \{0,1\}$

$\lim _{N\to \infty }{\frac {|\{E_{A,B}\colon H(E_{A,B})\leq N\,{\text{且 }}\,r_{E_{A,B}}=r\}|}{|\{E_{A,B}\colon H(E_{A,B})\leq N\}|}}={\frac {1}{2}}.$

早在 2004 年，Roger Heath-Brown 就證明了，在假設（橢圓曲線 L-函數的）廣義黎曼猜想下，橢圓曲線 $y^{2}=x^{3}+Ax+B$ 的平均解析秩最多為 2。 Bhargava、Shankar、Skinner 和 Zhang 進一步證明（無需任何假設）：

${\begin{aligned}\liminf _{N\to \infty }{\frac {\sum _{H(E_{A,B})\leq N}r_{E_{A,B}}}{|\{E_{A,B}\colon H(E_{A,B})\leq N\}|}}&\geq 0{,}2068,\\\limsup _{N\to \infty }{\frac {\sum _{H(E_{A,B})\leq N}r_{E_{A,B}}}{|\{E_{A,B}\colon H(E_{A,B})\leq N\}|}}&\leq 0{,}885.\end{aligned}}$

其中 $r_{E_{A,B}}$ 表示曲線 $E_{A,B}$ 的秩，$\limsup$ 和 $\liminf$ 代表上極限和下極限。Dorian Goldfeld 關於橢圓曲線所謂「二次扭轉」（quadratic twists）的代數秩和解析秩的平均分佈的猜想也指向類似的方向。 橢圓曲線 $E\colon y^{2}=x^{3}+ax+b$ 關於基本判別式 $D$ 的二次扭轉由 $E_{D}\colon Dy^{2}=x^{3}+ax+b$ 給出，其中 $E(\mathbb {Q} ({\sqrt {D}}))\cong E_{D}(\mathbb {Q} ({\sqrt {D}}))$。 對於扭轉曲線，模組性定理同樣適用，但為了研究 $L(E_{D},1)$ 和 $L'(E_{D},1)$ 的值，可以額外引用所謂的和諧馬斯形式（Harmonic Maass Forms）理論。

值得注意的是，這並不意味著只有有限多條曲線的秩 $r\geq 2$。尚未證明的 50:50 猜想若成立，並不會與「實際上存在無窮多條秩 $r\geq 2$ 的橢圓曲線」這一已知事實相衝突。例如，若 $m>1$ 是一個整數，且 $3\nmid m$、$2\mid m$ 和 $4\nmid m$，則橢圓曲線

$y^{2}=x^{3}+x-m^{6}$

的秩總是至少為 2。 然而，這些曲線在漸近意義上出現得非常少（就像在漸近意義上只有 0% 的自然數是質數，儘管有無限多個質數）。

數值證據

該猜想存在強有力的數值證據。早在 1965 年和 1968 年，Bryan Birch 和 Peter Swinnerton-Dyer 以及 N. M. Stephens 就進行了大規模的數值研究。約翰·科茨（John Coates）在 2015 年稱這些線索是「壓倒性的」，並認為歷史上沒有其他問題像這樣經過了如此廣泛的數值檢驗。在 LMFDB: The L-functions and modular forms database（L-函數和模形式數據庫）項目的網站上，收錄了導子 $N<360000$ 的所有橢圓曲線，總計 $2247187$ 條。Brendan Creutz、Robert L. Miller 和 Michael Stoll 對所有 $N<5000$ 的曲線進行了強猜想的數值驗證。

除了許多從理論方面接近該主題的嘗試外，最近還開始嘗試通過類神經網路來識別結構。Matija Kazalicki 和 Domagoj Vlah 於 2023 年提出了一種基於「深度卷積神經網路（CNNs）」確定秩的新方法。該方法將橢圓曲線 $E$ 的導子和一定範圍內質數 $p$ 的歸一化 Frobenius-跡 $a_{p}$ 序列作為輸入，旨在預測秩或識別具有「高」秩的曲線。

相關問題的研究

一些同樣未解決或已解決的問題與伯奇和斯溫納頓-戴爾猜想有關。

整數點

卡爾·路德維希·西格爾（Carl Ludwig Siegel）在 1929 年的論文《關於丟番圖逼近的一些應用》（Über einige Anwendungen diophantischer Approximationen）中證明的西格爾定理指出，定義在 $\mathbb {Q}$ 上的每條橢圓曲線 $E$ 只有有限多個整數點。 這個定理是關於超橢圓曲線上整數點的更一般結果的一個特例。

對於橢圓曲線，阿蘭·貝克（Alan Baker）在 1966 年提出的一種方法表明，對於具有整數係數的橢圓曲線，其整數解的大小存在有效的上界。這項工作與 Axel Thue 關於丟番圖逼近的一個結果有關，該結果在 1955 年由 Klaus Friedrich Roth 大幅改進（參見Thue-Siegel-Roth定理）。

貝克的定理指出，如果整數 $a,b,c\in \mathbb {Z}$ 定義了一條橢圓曲線

$y^{2}=x^{3}+ax^{2}+bx+c$

並且

$H=\max\{|a|,|b|,|c|\},$

那麼對於一個整數解 $(x,y)$，總是滿足不等式

$\max\{|x|,|y|\}\leq \exp \left((10^{6}H)^{10^{6}}\right)$

。 這裡 $\exp$ 表示自然指數函數。

在另一個完全不同的方向上，橢圓曲線上的整數點理論得出 $n=24$ 是唯一的自然數 $n>1$，使得

$1^{2}+2^{2}+\cdots +n^{2}$

是一個完全平方數。數字 24 的這種特殊性質與 24 維 Leech格（Leech lattice）的存在有關，因此也導致了數字 26 在弦理論中的出現（「無鬼定理」，no ghost theorem），這可能與宇宙的維度有關。

秩的分佈

其他未解決的問題包括：對於（代數）秩 $r=0,1,2,3,\ldots$，存在多少條橢圓曲線。甚至連「是否存具有任意高秩的橢圓曲線」這一問題也尚未解決。已知由 Noam Elkies 發現的曲線

$y^{2}+xy+y=x^{3}-x^{2}-20067762415575526585033208209338542750930230312178956502x+34481611795030556467032985690390720374855944359319180361266008296291939448732243429$

其秩「至少」為 28。Zev Klagsbrun、Travis Sherman 和 James Weigandt 在 2019 年（預印本 2016）證明，在假設 L-函數的廣義黎曼猜想下，其秩「正好」為 28。 2024 年，這一紀錄再次被打破，Elkies 和其他人發現了一條秩至少為 29 的曲線。

在 50:50 猜想（見上文）的框架下，人們認為高秩曲線是罕見的。關於是否從某個等級開始可能只有「有限」多條曲線，目前尚未達成共識。 可以出現任意高秩的論點在 20 世紀被多次提出。例如，André Néron 早在 1954 年就證明了存在無窮多條秩 $r\geq 11$ 的橢圓曲線。 然而，Jennifer Park、Bjorn Poonen、John Voight 和 Melanie Matchett Wood 在 2016 年基於機率模型的啟發式研究表明，秩 $r\geq 22$ 的橢圓曲線可能只有「有限多條」。該啟發法基於對橢圓曲線的秩和Shafarevich-Tate群的同步建模，並依賴於一個計算特定秩的交替整數矩陣數量的定理。

在某些情況下，可以估計橢圓曲線秩的上限：如果一條橢圓曲線以分解形式 $y^{2}=(x-m_{1})(x-m_{2})(x-m_{3})$ 給出，其中 $m_{1},m_{2}$ 和 $m_{3}$ 為整數，設 $n_{1}$ 為「恰好整除」$m_{1}-m_{2}$, $m_{2}-m_{3}$ 和 $m_{1}-m_{3}$ 中某一個數的質數的數量，$n_{2}$ 為整除所有這些數的質數的數量，則該曲線的代數秩 $r$ 滿足

$r\leq n_{1}+2n_{2}-1.$

這使得即使不假設伯奇和斯溫納頓-戴爾猜想，也能證明 1 不是同餘數。

扭轉部分

與橢圓曲線的秩相反，Mordell-Weil 群 $E(\mathbb {Q} )$ 中的扭轉部分（Torsion parts）已經被很好地理解。根據 Barry Mazur 的一個定理，$E(\mathbb {Q} )_{\mathrm {tors} }$ 總是同構於以下 15 個群之一：

$\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} \quad$ 其中 $\quad 1\leq n\leq 12,n\not =11$

$\mathbb {Z} /2n\mathbb {Z} \times \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} \quad$ 其中 $1\leq n\leq 4$

這個結果的證明非常困難。 存在計算扭轉部分的數學程序。

推廣

伯奇和斯溫納頓-戴爾猜想也可以針對「阿貝爾簇」（Abelian varieties）進行表述。這是橢圓曲線的高維類比。

參考文獻

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外部連結

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