负二项分布

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负二项分布

Negbinomial.gif

參數 ()
(實)
支撑集
概率质量函数
累積分佈函數
期望值
眾數
方差
偏度
峰度
動差生成函數
特性函数

負二項分布統計學上一種描述在一系列独立同分布的伯努利试验中,失败次数到达指定次数(记为r)时成功次数的離散概率分布。比如,如果我们定义掷骰子随机变量x值为x=1时为失败,所有x≠1为成功,这时我们反复掷骰子直到1出现3次(失败次数r=3),此时非1数字出现次数的概率分布即为负二项分布。

帕斯卡分布Pascal distribution,来自Blaise Pascal)和波利亚分布Polya distribution,又称罐子模型,来自George Pólya)均是负二项分布的特例。在工程,气候等领域中经常用“负二项分布”或“帕斯卡分布”来描述变量r为整数的情况,而使用“波利亚分布”来描述r取到实数值R的情况。

对于“传染性的”("contagious")的离散事件,例如龙卷风爆发,相比泊松分布,波利亚分布由于允许其平均值和方差不同,而能够给出更精确的模型。“传染性”的事件中,如果事件发生率相互独立,其发生率间的正相关性(即发生率间存在正协方差项)会导致变量分布有更大的方差。

“负二项分布”与“二项分布”的区别在于:“二项分布”是固定试验总次数N的独立试验中,成功次数k的分布;而“负二项分布”是所有到失败r次时即终止的独立试验中,成功次数k的分布。

定义[编辑]

若每次伯努利试验有两种可能的结果,分别为成功或者失败。在每次试验中,成功的概率为p,失败的概率为(1-p)。反复进行该伯努利试验,直到观察到第r次失败发生。此时试验成功次数的分布即为负二项分布(或称帕斯卡分布),那么:

若随机变量服从参数为的负二项分布,则记为.

在实际生活中,我们可以使用负二项分布描述某种机器在坏掉前,能够工作的天数的分布。此时,“成功”的事件可以指机器正常工作一天,“失败”的事件可以指机器故障的一天。如果我们使用负二项分布来描述运动员在获取r个奖牌前尝试的次数的分布,此时,“成功”的事件指运动员的一次尝试,“失败”的事件指运动员获取一枚奖牌。如果使用负二项分布来描述掷一枚硬币出现r次反面前,出现硬币正面的次数的分布,“成功”的事件指出现硬币的正面,“失败”的事件指出现硬币的反面。

概率质量函数[编辑]

帕斯卡分布[编辑]

是整數時的負二項分布又稱帕斯卡分布,其概率質量函數其中k是成功的次数,r是失败的次数,p是事件成功的概率。在负二项分布的概率质量函数中,由于k+r次伯努利试验为独立同分布,每个失败r次、成功k次的事件的概率为(1 − p)rpk。由于第r次失败一定是最后一次试验,所以应该在k+r-1次试验中选择k次成功,使用排列组合二项系数获取所有可能的选择数。

二项系数与负二项名称来源[编辑]

括号中为二项式系数表达式:

该表达式可以写成带负值参数的二项系数的形式,如下式所示,解释了“负二项”名称的来源:

概率密度函数对所有可能k值求和为1[编辑]

帕斯卡分布概率质量函数f(k;r,p)对所有可能k值求和,一定等于1:

证明如下:

其中第三步用到了二项序列展开。

几何分布[编辑]

,負二項分布等於幾何分布。其概率質量函數為

例子[编辑]

舉例說,若我們擲骰子,擲到一即視為成功。則每次擲骰的成功率是1/6。要擲出三次一,所需的擲骰次數屬於集合{ 3, 4, 5, 6, ... }。擲到三次一的擲骰次數是負二項分布的隨機變數。要在第三次擲骰時,擲到第三次一,則之前兩次都要擲到一,其機率為。注意擲骰是伯努利試驗,之前的結果不影響隨後的結果。

若要在第四次擲骰時,擲到第三次一,則之前三次之中要有剛好兩次擲到一,在三次擲骰中擲到2次1的機率為。第四次擲骰要擲到一,所以要將前面的機率再乘(1/6):