负二项分布

负二项分布

紅線是平均值 綠線是標準差 概率质量函數
參數	$r>0\!$$r>0\!$ (實) $0<p<1\!$$0<p<1\!$（實）
支撑集	$k\in \{0,1,2,\ldots \}\!$$k\in \{0,1,2,\ldots \}\!$
概率质量函数	${\frac {\Gamma (r+k)}{k!\,\Gamma (r)}}\,p^{r}\,(1-p)^{k}\!$${\frac {\Gamma (r+k)}{k!\,\Gamma (r)}}\,p^{r}\,(1-p)^{k}\!$
累積分佈函數	$I_{p}(r,k+1)$$I_{p}(r,k+1)$
期望值	$r\,{\frac {1-p}{p}}\!$$r\,{\frac {1-p}{p}}\!$
眾數	$\lfloor (r-1)\,(1-p)/p\rfloor {\text{ if }}r>1$$\lfloor (r-1)\,(1-p)/p\rfloor {\text{ if }}r>1$ $0{\text{ if }}r\leq 1$$0{\text{ if }}r\leq 1$
方差	$r\,{\frac {1-p}{p^{2}}}\!$$r\,{\frac {1-p}{p^{2}}}\!$
偏度	${\frac {2-p}{\sqrt {r\,(1-p)}}}\!$${\frac {2-p}{{\sqrt {r\,(1-p)}}}}\!$
峰度	${\frac {6}{r}}+{\frac {p^{2}}{r\,(1-p)}}\!$${\frac {6}{r}}+{\frac {p^{2}}{r\,(1-p)}}\!$
動差生成函數	$\left({\frac {p}{1-(1-p)e^{t}}}\right)^{r}\!$$\left({\frac {p}{1-(1-p)e^{t}}}\right)^{r}\!$
特性函数	$\left({\frac {p}{1-(1-p)e^{i\,t}}}\right)^{r}\!$$\left({\frac {p}{1-(1-p)e^{{i\,t}}}}\right)^{r}\!$

負二項分布是統計學上一種離散概率分布。“负二项分布”与“二项分布”的区别在于：“二项分布”是固定试验总次数N的独立试验中，成功次数k的分布；而“负二项分布”是所有到成功r次时即终止的独立试验中，失败次数k的分布。

记号

若随机变量${\mathit {X}}$${\mathit {X}}$服从参数为${\mathit {r}}$${\mathit {r}}$和${\mathit {p}}$${\mathit {p}}$的负二项分布，则记为$X\sim NB(r,p)$$X\sim NB(r,p)$.

應用

當$r$$r$是整數時，負二項分布又稱帕斯卡分布，其概率質量函數為$f(k;r,p)={k+r-1 \choose r-1}\cdot p^{r}\cdot (1-p)^{k}\!$$f(k;r,p)={k+r-1 \choose r-1}\cdot p^{r}\cdot (1-p)^{k}\!$。它表示，已知一個事件在伯努利試驗中每次的出現機率是$p$$p$，在一連串伯努利試驗中，一件事件剛好在第$r+k$$r+k$次試驗出現第$r$$r$次的機率。

取$r=1$$r=1$，負二項分布等於幾何分布。其概率質量函數為$f(k;1,p)=p\cdot (1-p)^{k}\!$$f(k;1,p)=p\cdot (1-p)^{k}\!$。

例子

舉例說，若我們擲骰子，擲到一即視為成功。則每次擲骰的成功率是1/6。要擲出三次一，所需的擲骰次數屬於集合{ 3, 4, 5, 6, ... }。擲到三次一的擲骰次數是負二項分布的隨機變數。要在第三次擲骰時，擲到第三次一，則之前兩次都要擲到一，其機率為$(1/6)^{3}$$(1/6)^{3}$。注意擲骰是伯努利試驗，之前的結果不影響隨後的結果。

若要在第四次擲骰時，擲到第三次一，則之前三次之中要有剛好兩次擲到一，在三次擲骰中擲到2次1的機率為${3 \choose 3-1}(5/6)(1/6)^{2}$${3 \choose 3-1}(5/6)(1/6)^{2}$。第四次擲骰要擲到一，所以要將前面的機率再乘（1/6）：${1+3-1 \choose 3-1}(1/6)^{3}(5/6)$${1+3-1 \choose 3-1}(1/6)^{3}(5/6)$。