费马小定理

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费马小定理数论中的一个定理:假如a是一个整数p是一个質数,那么是p的倍数,可以表示为

如果a不是p的倍数,这个定理也可以写成

[1]

这个书写方式更加常用。(符号的应用请参见同餘。)

历史[编辑]

皮埃爾·德·費馬

皮埃爾·德·費馬于1636年发现了这个定理。在一封1640年10月18日的信中他第一次使用了上面的书写方式。在他的信中费马还提出a是一个素数的要求。

1736年,歐拉出版了一本名為“一些與素數有關的定理的證明”(拉丁文:Theorematum Quorundam ad Numeros PRIMOS Spectantium Demonstratio)”[2]的論文集,其中第一次给出了證明。但從萊布尼茨未發表的手稿中發現他在1683年以前已經得到幾乎是相同的證明。

有些數學家獨立製作相關的假說(有時也被錯誤地稱為中國的假說),當成立時,p是質數。這是費馬小定理的一個特殊情況。然而,這一假說的前設是錯的:例如,,而341=11×31是一個偽素數。所有的偽素數都是此假說的反例。

卡邁克爾數[编辑]

所述,中国猜测仅有一半是正确的。符合中国猜测但不是素数的数被称为伪素数。

更极端的反例是卡迈克尔数: 假設與561互质,則被561除都余1。这样的数被称为卡邁克爾數数,561是最小的卡邁克爾数。Korselt在1899年就给出了卡邁克爾數的等价定义,但直到1910年才由卡邁克爾(Robert Daniel Carmichael)发现第一个卡邁克爾数:561。1994年William Alford、Andrew Granville及Carl Pomerance证明了卡邁克爾数有无穷多个。

证明[编辑]

方法一[编辑]

若n不能整除,則n也不能整除。取整數集为所有小於构成的完全剩余系,即中不存在两个数同余),中所有的元素乘以a组成的集合。因为中的任何两个元素之差都不能被p整除,所以B中的任何两个元素之差也不能被p整除。

換句話說,,考慮個數,將它們分別除以p,餘數分別為,則集合{r1,r2,r3,...,rp-1}為集合{1,2,3,...,(p-1)}的重新排列,即1,2,3,....,(p-1)在餘數中恰好各出現一次;這是因為對於任兩個相異k*a而言(k=1,2,3....(p-1)),其差不是p的倍數(所以不會有相同餘數),且任一個k*a亦不為p的倍數(所以餘數不為0)。因此

在这里W=1·2·3·...·(p-1),且(W, p) = 1,因此将整个公式除以W即得到:

[3]

方法二[编辑]

考慮二項式係數,n不為p或0,由於分子有質數p,但分母不含p,故分子的p能保留,不被約分而除去,即恆為p的倍數。

再考慮(b+1)p的二項式展開,模p,則

因此

令b=a-1,即得[3]

應用[编辑]

  • 計算除以13的餘數

故餘數為3。

  • 證明對於任意整數a而言,恆為2730的倍數。13減1為12,12的正因數有1, 2, 3, 4, 6, 12,分別加1,為2, 3, 4, 5, 7, 13,其中2, 3, 5, 7, 13為質數,根據定理,為2的倍數、為3的倍數、為5的倍數、為7的倍數、為13的倍數,即2*3*5*7*13=2730的倍數。

推广[编辑]

欧拉定理[编辑]

费马小定理是欧拉定理的一个特殊情况:如果na的最大公约数是1,那么

这里φ(n)是欧拉函数。欧拉函数的值是所有小于或等于n的正整数中与n互質的数的个数。假如n是一个素数,则φ(n) = n-1,即费马小定理。

卡邁克爾函數[编辑]

卡邁克爾函數比欧拉函数更小。费马小定理也是它的特殊情况。

多项式除法[编辑]

除式:

余式:

n=0时为除式,用数学归纳法证明余式。[4]

参见[编辑]

參考[编辑]

  1. ^ Fermat's Little Theorem.WolframMathWorld.(英文)
  2. ^ A proof of certain theorems regarding prime numbers
  3. ^ 3.0 3.1 許介彥. 費馬小定理 (PDF). 科學教育月刊 (私立大葉大學電機工程學系). 2006年10月, (第293期): 37–44. (原始内容 (PDF)存档于2015-04-18). 
  4. ^ 黄嘉威. 多项式除法解高次同余. 数学学习与研究. 2015, (9): 第104页.