赫尔德不等式

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赫爾德不等式數學分析的一條不等式,取名自奧托·赫爾德(Otto Hölder)。這是一條揭示Lp空間的相互關係的基本不等式:

為測度空間,,及,設內,內。則內,且有

取作附計數測度,便得赫爾德不等式的特殊情形:對所有實數(或複數,有

我们称pq互为赫尔德共轭

若取自然數集附計數測度,便得與上類似的無窮級數不等式。

,便得到柯西-施瓦茨不等式

赫爾德不等式可以證明空間上一般化的三角不等式閔可夫斯基不等式,和證明空間是空間的對偶

备注[编辑]

  • 在赫尔德共轭的定义中,1/∞意味着零。
  • 如果1 ≤ pq < ∞,那么||f ||p和||g||q表示(可能无穷的)表达式:
   以及   
  • 如果p = ∞,那么||f ||表示|f |的本性上确界,||g||也类似。
  • 在赫尔德不等式的右端,0乘以∞以及∞乘以0意味着 0。把a > 0乘以∞,则得出 ∞。

证明[编辑]

赫尔德不等式有许多证明,主要的想法是杨氏不等式

如果||f ||p = 0,那么f μ-几乎处处为零,且乘积fg μ-几乎处处为零,因此赫尔德不等式的左端为零。如果||g||q = 0也是这样。因此,我们可以假设||f ||p > 0且||g||q > 0。

如果||f ||p = ∞或||g||q = ∞,那么不等式的右端为无穷大。因此,我们可以假设||f ||p和||g||q位于(0,∞)内。

如果p = ∞且q = 1,那么几乎处处有|fg| ≤ ||f || |g|,不等式就可以从勒贝格积分的单调性推出。对于p = 1和q = ∞,情况也类似。因此,我们还可以假设p, q ∈ (1,∞)。

分别用fg除||f ||p||g||q,我们可以假设:

我们现在使用杨氏不等式:

对于所有非负的ab,当且仅当ap = bq时等式成立。因此:

两边积分,得:

这便证明了赫尔德不等式。

p ∈ (1,∞)和||f ||p = ||g||q = 1的假设下,等式成立当且仅当几乎处处有|f |p = |g|q。更一般地,如果||f ||p和||g||q位于(0,∞)内,那么赫尔德不等式变为等式,当且仅当存在αβ > 0(即α = ||g||qβ = ||f ||p),使得:

   μ-几乎处处   (*)

||f ||p = 0的情况对应于(*)中的β = 0。||g||q = 的情况对应于(*)中的α = 0。

参考文献[编辑]