赫尔德不等式

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赫爾德不等式數學分析的一條不等式,取名自奧圖·赫爾德(Otto Hölder)。這是一條揭示Lp空間的相互關係的基本不等式:

S為測度空間,1 \le p,q \le \infty,及{1\over p} + {1\over q} = 1,設fL^p(S)內,gL^q(S)內。則f\mbox{ }gL^1(S)內,且有

\|fg\|_1 \le \|f\|_p \|g\|_q

S取作\{1,...,n\}附計數測度,便得赫爾德不等式的特殊情形:對所有實數(或複數x_1,\mbox{ }...,\mbox{ }x_n;\mbox{ }y_1,\mbox{ }...,\mbox{ }y_n,有

\sum_{k=1}^n |x_k y_k| \leq \left( \sum_{k=1}^n |x_k|^p \right)^{1/p} \left( \sum_{k=1}^n |y_k|^q \right)^{1/q}

我们称pq互为赫尔德共轭

若取S自然數集附計數測度,便得與上類似的無窮級數不等式。

p = q = 2,便得到柯西-施瓦茨不等式

赫爾德不等式可以證明L^p空間上一般化的三角不等式閔可夫斯基不等式,和證明L^p空間是L^q空間的對偶

备注[编辑]

  • 在赫尔德共轭的定义中,1/∞意味着零。
  • 如果1 ≤ pq < ∞,那么||f ||p和||g||q表示(可能无穷的)表达式:
\biggl(\int_S |f|^p\,\mathrm{d}\mu\biggr)^{1/p}   以及   \biggl(\int_S |g|^q\,\mathrm{d}\mu\biggr)^{1/q}.
  • 如果p = ∞,那么||f ||表示|f |的本性上确界,||g||也类似。
  • 在赫尔德不等式的右端,0乘以∞以及∞乘以0意味着 0。把a > 0乘以∞,则得出 ∞。

证明[编辑]

赫尔德不等式有许多证明,主要的想法是杨氏不等式

如果||f ||p = 0,那么f μ-几乎处处为零,且乘积fg μ-几乎处处为零,因此赫尔德不等式的左端为零。如果||g||q = 0也是这样。因此,我们可以假设||f ||p > 0且||g||q > 0。

如果||f ||p = ∞或||g||q = ∞,那么不等式的右端为无穷大。因此,我们可以假设||f ||p和||g||q位于(0,∞)内。

如果p = ∞且q = 1,那么几乎处处有|fg| ≤ ||f || |g|,不等式就可以从勒贝格积分的单调性推出。对于p = 1和q = ∞,情况也类似。因此,我们还可以假设p, q ∈ (1,∞)。

分别用fg除||f ||p||g||q,我们可以假设:

\|f\|_p = \|g\|_q = 1.

我们现在使用杨氏不等式:

a b \le \frac{a^p}p + \frac{b^q}q,

对于所有非负的ab,当且仅当ap = bq时等式成立。因此:

|f(s)g(s)| \le \frac{|f(s)|^p}p + \frac{|g(s)|^q}q,\qquad s\in S.

两边积分,得:

\|fg\|_1 \le 1,

这便证明了赫尔德不等式。

p ∈ (1,∞)和||f ||p = ||g||q = 1的假设下,等式成立当且仅当几乎处处有|f |p = |g|q。更一般地,如果||f ||p和||g||q位于(0,∞)内,那么赫尔德不等式变为等式,当且仅当存在αβ > 0(即α = ||g||qβ = ||f ||p),使得:

\alpha |f|^p = \beta |g|^q\,   μ-几乎处处   (*)

||f ||p = 0的情况对应于(*)中的β = 0。||g||q = 的情况对应于(*)中的α = 0。

参考文献[编辑]

  • Hardy, G.H.; Littlewood, J.E.; Pólya, G., Inequalities, Cambridge Univ. Press. 1934, ISBN 0521358809 
  • Hölder, O., Ueber einen Mittelwerthsatz, Nachr. Ges. Wiss. Göttingen. 1889: 38–47 
  • Kuptsov, L.P., Hölder inequality//Hazewinkel, Michiel, 数学百科全书, 克鲁维尔学术出版社. 2001, ISBN 978-1556080104 
  • Rogers, L J., An extension of a certain theorem in inequalities, Messenger of math. 1888, 17: 145–150 
  • Kuttler, Kenneth, An introduction to linear algebra, Online e-book in PDF format, Brigham Young University. 2007 
  • 邢家省. Young不等式在Lp空间中的应用. 聊城大学学报(自然科学版). 2007年 第3期, 第20卷. ISSN 1672-6634(2007)03-0019-04. 
  • 张愿章. Young不等式的证明及应用. 河南科学. 2004年 第01期, 第22卷. ISSN 1004-3918(2004)01-0023-07.