超几何函数

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在数学中,高斯超几何函数普通超几何函数2F1(a,b;c;z)是一个用超几何级数定义的函数,很多特殊函数都是它的特例或极限。所有具有三个正则奇点英语Regular singular point的二阶线性常微分方程的解都可以用超几何函数表示。

超几何级数[编辑]

不是0,-1,-2...时,对于|z| < 1,超几何函数可用如下幂级数定义

其中 Pochhammer符号,定义为:

ab0或负整数时级数只有有限项。

对于满足|z| ≥ 1 的复数z,超几何函数可以通过将上述在单位圆内定义的函数沿着避开支点01的任意路径做解析延拓来得到。

特殊情形[编辑]

很多普通的数学函数可以用超几何函数或它的极限表示出来,一些典型的例子如下:

.

合流超几何函数(Kummer函数)可以用超几何函数的极限表示如下

因此,所有合流超几何函数的特例,例如贝塞尔函数都可以表示成超几何函数的极限。

勒让德函数是有3个正则奇点的二阶线性常微分方程的解,可以用以不同的形式用超几何函数表示,例如

很多多项式,例如贾可比多项式 P(α,β)
n
及其特殊情形勒让德多项式, 车比雪夫多项式, Gegenbauer多项式都能用超几何函数表示

其它特殊情形还包括Krawtchouk多项式, Meixner多项式, Meixner–Pollaczek多项式

椭圆模函数英语Elliptic modular function有时能表示成参数a, b, c是1, 1/2, 1/3, ... 或 0 的超几何函数之比的反函数。例如,若

τ的椭圆模函数.

不完整的beta函数 Bx(p,q) 表示成

完整的椭圆积分 KE 如下给出

超几何方程[编辑]

超几何函数满足的微分方程称为超几何方程,其形式为(参见广义超几何函数)

.

展开后,得

它有三个正则奇点:0, 1, ∞.

正则奇点 0 附近的解[编辑]

超几何方程的指标方程英语Frobenius method

它的两个指标 ρ 是 0 和 1-c

c不是整数时,超几何方程在 0 附近的两个线性无关的正则特解为:

c 为 1 时,方程只有一个正则解。当 c 为其余整数时,另一个线性无关的正则特解涉及对数项。

事实上,当 c 为整数时,另一个线性无关的特解总可以选取为 Meijer G-函数

正则奇点 1 附近的解[编辑]

只需作代换 t=1-z,方程变为:

a+b-c 不是整数时,两个线性无关的正则特解为:

正则奇点 ∞ 附近的解[编辑]

a-b 不是整数时,两个线性无关的正则特解为:

李代数参数与连接关系[编辑]

在讨论超几何方程的解的连接关系的时候,采用另外一套参数[1]会更加方便。这组参数是根据方程在三个正则奇点处的指标之差来定义的。

参数 α,β,γ 称为李代数参数。

运用李代数参数,超几何方程在三个正则奇点处的正则解可以分别表示为:

从上面的表达式可见,李代数参数比起通常用的参数 a,b,c 的优势在于能够体现不同区域的解之间的对称性。

引入记号:

则超几何方程在不同区域的解的连接关系可以表示为:

分别对比两组式子最后一个等号之后的部分,可以看出每组的两个式子之间的对称性。

完整的连接关系表称为 Kummer 表,上面四式是 Kummer 表的一部分。

积分表示[编辑]

式中的 Β 是beta函数

证明[编辑]

可以证明等号右边的表达式是超几何方程的解。再考虑这个解在 z=0 附近的性质,可以确定它的具体形式。

上式中的第二、三个等号可以通过直接展开大括号内的多项式乘积得到。上式两边分别对 t 从 1 到无穷大进行积分,等号右边为 0,于是我们证明了上面的积分表达式的确是超几何方程的解。

另一方面,利用二项式定理,积分表达式等号右边的部分可以按 z 展开成幂级数,故可知等号右边应取 C 2F1(a,b,c;z) 的形式(因为另一个线性无关的特解无法展开成幂级数),其中 C 为待定的常数。

对比积分表达式在 z=0 处的值与 Β 函数的定义,即可确定常数 C

变换公式[编辑]

分式线性变换[编辑]

Pfaff 变换[编辑]

Pfaff 变换将正则奇点 1 和 ∞ 交换(也就是将李代数参数中的 βμ 对换):

a,b 的对称性自然有:

证明[编辑]

Pfaff 变换可以根据超几何方程得到。事实上,令

w(u) 满足的超几何方程知等号右边为 0,再考虑函数 (1-z)-bw(z)z=0 附近的性质即可得到 Pfaff 变换的公式。

Euler 变换[编辑]

Pfaff 变换可以导出 Euler 变换,它将李代数参数 β 变成 -β

Pfaff 变换和 Euler 变换都是分式线性变换的例子,这得名于等式两边的超几何函数的宗量的联系,参见莫比乌斯变换

上面提到的四个连接关系与 Pfaff 变换及 Euler 变换组合起来,就得到完整的 Kummer 表。

给定一组李代数参数(α,β,μ),(±α,±β,±μ) 及其轮换对应着 24 个不同但彼此关联的超几何函数(Fα,β,μ 恒等于 Fα,β,),利用前面提到的四个连接关系和 Pfaff 变换,它们中的任意一个可以通过任意另外两个表出。

例如 Euler 变换可以表示为:

二次变换[编辑]

下面是一个二次变换的例子:

二次变换得名于等号两边超几何函数宗量的联系(一个二次函数和一个莫比乌斯变换的组合)。

证明[编辑]

仿照上面 Pfaff 变换的证明,有:

仿照上面关于 Pfaff 变换的讨论,可得二次变换的公式。

其它例子[编辑]

运用李代数参数,一般的二次变换可以表示为

其中 f(z),g(z) 是 z 的函数, P(z) 表示 z 要满足的约束。

下表给出了一些二次变换。

李代数参数(左) 李代数参数(右)

另外还有:

将它们与 Kummer 表组合起来,就得到所有的含有两个独立参变量的二次变换关系式。例如上面的例子可以通过组合第一行中的变换与 Pfaff 变换得到。

另外还有一些只含有一个独立参变量的二次变换关系式。

三次及高次变换[编辑]

若一组李代数参数满足下列条件:有两个是 ±1/3,或者三个参数的绝对值相等,则有一个三次变换的公式将它与另一个超几何函数联系起来。

另外有一些 4 次和 6 次变换的公式。其它次数的变换公式只有当参数取特定有理数值时存在。参见Goursat (1881)

特殊值[编辑]

z=0[编辑]

z=1[编辑]

这称为高斯原理(Gauss's theorem),可以由超几何函数的积分表示得到。范德蒙恒等式是它的特殊情形。

z=-1[编辑]

这可以通过组合上表中的第二个二次变换和 Pfaff 变换,并利用 z=1 时的特殊值得到。

z=1/2[编辑]

上面两式分别被称为高斯第二求和原理与 Balley 原理。它们都可以通过组合第三个二次变换和 Pfaff 变换,并利用 z=1 时的特殊值得到。

参考文献[编辑]

  • ^ Dereziński, Jan. Hypergeometric type functions and their symmetries. arXiv:1305.3113.