超越方程

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超越方程transcendental equation)是包含超越函數方程[1],也就是方程中有無法用自變數的多項式或開方表示的函數,与超越方程相对的是代数方程。超越方程的求解無法利用代數幾何來進行。大部分的超越方程求解沒有一般的公式,也很難求得解析解[2]

舉例[编辑]

以下的方程分別因為有指數函數三角函數等超越函數,因此均為超越方程。

e^xx=1\
x=\sin x\

天文學中,有關軌道偏近點角E\,\!的开普勒方程也是超越方程:

M=E-e\sin E\!

其中:

求解方法[编辑]

超越方程的求解可以利用繪圖法及數值方法求解。若利用繪圖法,可以分別令等式二邊的式子等於另一變數(例如y),然後在二個圖繪製在一起,二個圖的交點即為超越方程的解。數值方法也是以此想法往下延伸,利用數學公式求得二個圖交點的位置。

若是數值很小,或是已知解在某一數值附近,也可以用泰勒級數的方式來用多項式近似超越函數,因此超越方程可用代數方程近似,再針對代數方程求解。用牛頓法也可以求超越方程的數值解。

有些特殊的函數可用來表示超越方程的解。例如複變函數朗伯W函数就可以表示一些超越方程的解。以下的超越方程

x e^{x} = 1

其解為 W(1) ,近似值為0.56714329……(歐米加常數)。

參照[编辑]

參考文献[编辑]

  1. ^ 冯有前. 数值分析. 清华大学出版社. 2005: 11. ISBN 7810824953. 
  2. ^ 姜启源. 大学数学实验. 清华大学出版社. 2005: 113. ISBN 730210140X.