超越次數

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抽象代數中,一個域擴張 L/K超越次數L 中在 K代數獨立子集的極大基數

定義[编辑]

域擴張 L/K 的一組超越基是子集 S \subset L,使得 SK 上代數獨立,而且 L/K(S)代數擴張。可證明超越基存在,而任兩組超越基的基數皆相同,由此可定義超越次數為超越基底的基數。

例子[编辑]

  • 域擴張是代數擴張的充要條件是其超越次數為零。
  • 有理函數k(X_1, \ldots, X_n)k 的超越次數為 n
  • 對於代數簇函數域,其超越次數等於代數簇的維度
  • \mathbb{C}/\mathbb{R} 的超越次數是連續統;另一方面,\mathbb{C} 代數封閉,因此任何特徵為零的有限生成域都能嵌入 \mathbb{C}

與向量空間維度的類比[编辑]

域與向量空間有下述類比:代數獨立集對應到線性獨立集、超越基對應到基、超越次數對應到維度。證明基的基數唯一時,兩方面都用到基的「交換引理」。任意域上超越基的存在性依賴於選擇公理,向量空間的基底亦同。在模型論中,這兩者可以統一於預幾何的框架下。

性質[编辑]

L/KM/L 為域擴張,則 M/K 的超越次數為 M/LL/K 的超越次數相加,此點可藉由取超越基的聯集證之。