辛几何

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辛几何Symplectic geometry),也叫辛拓扑Symplectic topology),是微分几何的一个分支。其研究對象為辛流形,亦即带有非退化2-形式微分流形。辛拓扑源于经典力学哈密顿表述,其中特定经典系统的相空间有辛流形的结构。

辛拓扑和研究有非退化对称2阶张量(称为度量张量)的流形的黎曼几何有一些相似和不同之处。不像黎曼的情况,辛流形没有像曲率那样的局部不变量。这是达布定理的一个结果,表明每一对辛流形是局部同构的。另一个和黎曼几何的区别是不是所有的微分流形可以接受一个辛形式;有一些特定的拓扑限制。首先,流形必须是偶数维的。辛拓扑的很多工作就是以研究哪些流形可以有辛结构为中心的。

每个凯勒流形也是一个辛流形。直到1970年代,辛专家们还不确信是否有任何紧非Kähler辛流形存在,但从那以后又很多例子被构造出来(第一个由William Thurston给出);特别的,Robert Gompf证明每个有限表示群都可以作为辛4维流形的基本群出现,这和凯勒的情形完全不同。

可以说大部分辛流形都是非凯勒的;所以没有和辛形式相容的可积複结构。但是 Mikhail Gromov给出了一个重要的发现,就是辛流形可以接受很多相容的殆複结构,所以它们满足複流形的所有假设,"除了"坐标变换函数必须是全纯的这一条。

以几乎複结构相容的映射到辛流形的黎曼曲面称为伪全纯曲线,格罗莫夫证明了该类曲线的紧致性定理;这个结构导致了辛拓扑一个很大的子学科的发展。从格罗莫夫的理论产生的结果包括关于的辛嵌入的格罗莫夫非压缩定理,和关于哈密顿流不动点的个数的阿尔诺德的一个猜想的证明。这是由从Andreas Floer开始的几个研究者(逐步推广到更一般的情形)所证明的,Floer用格罗莫夫的方法引入了现在称为Floer同调的概念。

伪全纯曲线也是辛不变量的一个来源,这种不变量称为Gromov-Witten不变量,原则上可以用来区分两个不同的辛流形。

名詞由來[编辑]

symplectic這個名詞,是赫爾曼·外爾所提出來的。他原來把symplectic group(辛群)稱為complex group,以帶出line complex的含意。不過complex會令人聯想起complex number(複數),因此他將complex改為對應的希臘文symplectic一詞。complex源自拉丁文complexus一詞,詞根是co-(共同)+plexus(編織),意為「織在一起」,相對應希臘文詞根是sym-plektikos(συμπλεκτικός),結合成symplectic一詞。

参看[编辑]

参考[编辑]

  • Dusa McDuff and D. Salamon, Introduction to Symplectic Topology, Oxford University Press, 1998. ISBN 0-19-850451-9.
  • A. T. Fomenko, Symplectic Geometry (2nd edition) (1995) Gordon and Breach Publishers, ISBN 2-88124-901-9. (Provides an undergrad level introduction.)