达布定理

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实分析中,达布定理(英語:Darboux's theorem)得名于让·加斯东·达布。达布定理说明所有的实导函数(是某个实值函数的导数函数)都具有介值性质:任一个区间关于实导函数的值域仍是区间。即是说,若 f 为可导函数,则对任意区间I,f′(I) 仍为区间。

当函数 f 是一阶连续可导函数(C1)时,由介值定理,达布定理显然成立。当导函数 f′ 不连续时,达布定理说明 f′ 仍具有介值性质。

历史[编辑]

19世纪时,大部分数学家认为介值定理已经可以刻畫出连续函数。但在1875年,让·加斯东·达布证明这个想法是错误的,因为连续函数的导函数仍然具有介值性质,但不一定是连续函数。一个很常用的反例是函数:

其导数在0处并不连续。

定理叙述[编辑]

达布定理等价于:设 f : [a,b] → R 为一个 [a,b] 上的实值连续函数,并在[a,b] 上可导,那么 满足:对任意介于之间的 t ,存在 x 属于 (a,b) 使得

证明[编辑]

不失一般性,我们可假设。又设g(x) := f(x) - tx,则 。只需找到 在 [a,b] 上的一个零点即可。

由于 g 是[a,b] 上的连续函数,由極值定理, g 在[a,b] 上达到极大值。由于,极大值不在 a 处取到。同理,由于,极大值也不在 b 处取到。设 x 为取到极大值的点,这时,。于是定理得证。

参见[编辑]

参考资料[编辑]

  • 万丽 , 李少琪 , 阎庆旭,《微分达布(Darboux)定理的几种新证法及其推广》,《数学的实践与认识》2003年11期
  • 潘继斌,《达布(Darboux)定理及其应用》,《湖北师范学院学报(自然科学版)》2000年01期

外部链接[编辑]