迭代函数

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数学中,迭代函数是在碎形动力系统中深入研究的对象。迭代函数是重复的与自身复合的函数,这个过程叫做迭代

定义[编辑]

集合 X 上的迭代函数的形式定义为:

X 是集合和 f:X\rightarrow X函数。定义 fn 次迭代 f^nf^0=\operatorname{id}_Xf^{n+1} = f \circ f^n,这里的 \operatorname{id}_X 是在 X 上的恒等函数

在上述中,f \circ g 指示函数复合;就是说 (f \circ g)(x)=f(g(x))

从迭代建立序列[编辑]

函数 f^n 的序列叫做 Picard 序列,得名于 Charles Émile Picard。对于一个给定 x \in Xf^n(x) 的值的序列叫做 x轨道

如果对于某个整数 mf^n(x) = f^{n+m}(x),则轨道叫做周期轨道。对于给定 x 最小的这种 m 值叫做轨道的周期。点 x 自身叫周期点

不动点[编辑]

如果m=1,就是说如果对于某个X中的xf(x) = x,则x被称为迭代序列的不动点。不动点的集合经常指示为Fixf)。存在一些不动点定理保证在各种情况下不动点的存在性,包括巴拿赫不动点定理Brouwer不动点定理

有很多技术通过不动点迭代产生了序列收敛加速。例如,应用于一个迭代不动点的Aitken方法叫做Steffensen方法,生成二次收敛。 不动点理论同样也适用于经济学领域。

极限行为[编辑]

通过迭代,可以发现有向一个单一点收缩和会聚的一个集合。在这种情况下,会聚到的这个点叫做吸引不动点。反过来说,迭代也可以表现得从一个单一点发散;这种情况叫不稳定不动点

当轨道的点会聚于一个或多个极限的时候,轨道的会聚点的集合叫做极限集合ω-极限集合

吸引和排斥的想法类似推广;依据在迭代下小邻域行为,可把迭代分类为稳定集合不稳定集合

其他极限行为也有可能;比如,游荡点是总是移动永不回到甚至接近起点的点。

例子[编辑]

著名的迭代函数包括曼德博集合迭代函数系统

如果 f 是一个群元素在一个集合上的作用,则迭代函数对应于自由群

参见[编辑]

引用[编辑]

  • Vasile I. Istratescu, Fixed Point Theory, An Introduction, D.Reidel, Holland (1981). ISBN 90-277-1224-7