选择函数

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選擇函數是一個函數f,其定義域X為一堆非空集合組成的集合,且對每一於X內的S,f(S)會屬於S。換句話說,f會在X的每一集合中選取一個且只一個元素。

選擇公理(AC)描述每一非空集合的集合都會有一選擇函數。另一較弱的選擇公理-可數選擇公理(CC)描述每一非空集合組成的可數集合都會有一選擇函數。但無論如何,即使沒有AC或CC,某些集合還是可以有選擇函數。

  • X為一非空集合組成的有限集合,則可以建立一選擇函數,由每一個X的元素內選取一個元素。這只需要做有限多次的選擇,所有不需要有AC和CC兩個公理。
  • X的每一元素都是良序非空集合,則有可能由每一個X的元素中選取其極小元。如此,或許需要有無限多次的選擇,但存在一做選擇的規擇,所以AC和CC再次地不需要有。分辨「良序」和「可良序」是很重要的:當X的元素儘為可良序,則其將需要選取每一元素的一良序,而這可能需要無限多次隨意的選擇,因此需要有AC(或CC,若X為可數無限)。
  • X的每一元素都是非空集合,且其聯集\bigcup X為可良序的,則有可能可以選擇一此聯集的良序,且推導至X內每一元素的良序,如此一個選擇函數就可以如前述例子一樣地存在。在此一例子裡,是有可能只做一次選擇來決定X內每一元素的良序,故不需要AC和CC。(此一例子表示出良序定理,其敘述為每一集合若皆可良序,則AC存在。相反也是真的,但較少當然的感覺。)

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