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連續性方程式

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在物理學裏,連續性方程式continuity equation)乃是描述守恆量傳輸行為的偏微分方程式。由於在各自適當條件下,質量能量動量電荷等等,都是守恆量,很多種傳輸行為都可以用連續性方程式來描述。

連續性方程式乃是定域性的守恆定律方程式。與全域性的守恆定律相比,這種守恆定律比較強版。在本條目內的所有關於連續性方程式的範例都表達同樣的點子──在任意區域內某種守恆量總量的改變,等於從邊界進入或離去的數量;守恆量不能夠增加或減少,只能夠從某一個位置遷移到另外一個位置。

每一種連續性方程式都可以以積分形式表達(使用通量積分),描述任意有限區域內的守恆量;也可以以微分形式表達(使用散度算符),描述任意位置的守恆量。應用散度定理,可以從微分形式推導出積分形式,反之亦然。

概論[编辑]

微分形式[编辑]

一般的連續性方程式,其微分形式為

其中, 是某物理量 的密度(物理量每單位體積), 的流量密度(物理量每單位面積每單位時間)的向量函數(vector function), 的生成量每單位體積每單位時間。

假若 則稱 為「源點」;假若 則稱 為「匯點」。假設 是守恆量,不能夠生成或湮滅(例如,電荷),則 ,連續性方程式變為

從簡單的「能量連續性方程式」到複雜的納維-斯托克斯方程式,這方程式可以用來表示任意連續性方程式。這方程式也是平流方程式advection equation)的推廣。

其它物理學裏的方程式,像電場高斯定律高斯重力定律Gauss' law for gravity),都具有類似連續性方程式的數學形式,但是通常不會稱為連續性方程式,因為 並不代表真實物理量的流動。

積分形式[编辑]

在連續性方程式的積分形式裏, 是包住體積 的任意閉曲面。如同圖內左邊的曲面(以藍色顯示), 沒有邊界;而圖內右邊的曲面都有邊界(以紅色顯示)。

根據散度定理,連續性方程式可以寫為等價的積分形式:

其中, 是包住體積 的任意固定(不隨時間改變)閉曲面, 是在體積 內的 總量, 是在積分體積 內源點與匯點的總生成量每單位時間, 是微小面向量積分元素。

舉一簡例,假設 台北101大樓 是在大樓內某時間的總人數, 是由門口、牆壁、屋頂、地基等等,共同組成的曲面,則連續性方程式表明,當人們進入大樓時(代表穿過曲面的內向通量),或當大樓裏面的孕婦生產時(代表源點的 ),在大樓裏面的總人數會增加;而當人們離開大樓時(代表穿過曲面的外向通量),在大樓裏面的總人數會減少。

電磁理論[编辑]

在電磁理論裏,連續性方程式可以視為一條經驗定律,表達定域電荷守恆,或是從馬克士威方程組推導出的結果。「電荷連續性方程式」表明,電荷密度 的變率與電流密度 的散度,兩者的代數和等於零:

導引[编辑]

馬克士威-安培方程式

其中,磁場電場磁常數電常數

取散度於方程式的兩邊,由於旋度散度必是零,

高斯定律的方程式為

將這方程式代入,可以得到

電流是電荷的流量。連續性方程式可以這樣論述:假若電荷從某微小體積元素移動出去(電流密度的散度是正值),則在那微小體積元素內的總電荷量會減少,電荷密度的變率是負值。從這解釋可以察覺,連續性方程式就是電荷守恆。

四維電流[编辑]

四維電流密度定義為

其中, 標記哪一個時空坐標,光速

電荷守恆可以簡潔地表達為四維電流密度的散度,即連續性方程式

其中,

流體力學[编辑]

流體力學裏,連續性方程式表明,在任何穩定態過程中,質量進入物理系統的速率等於離開的速率。[1][2]。連續性方程式類比於電路學克希荷夫電流定律。「質量連續性方程式」的微分形式為[1]

其中, 是流體質量密度, 是流速向量場,兩者相乘後為质量通量

假設流體是不可壓縮流,則密度 是常數,質量連續性方程式簡化為體積連續性方程式:[1]

這意味著,在所有位置,速度場的散度等於零;也就是說,定域的體積變率為零。

在另一方面,納維-斯托克斯方程式是一個向量連續性方程式,描述動量守恆

能量[编辑]

根據能量守恆,能量只能夠傳輸,不能夠生成或湮滅,這導致「能量連續性方程式」。這是在熱力學定律Laws of thermodynamics)外,又一種關於能量守恆的數學論述。以方程式表達,

其中, 是能量密度(能量每單位體積), 是能量通量向量(數值大小為傳輸的能量每單位截面面積每單位時間,方向為截面的法向方向)。

根據傅立葉定律Fourier's law),對於均勻傳導介質,

其中,熱導率溫度函數。

能量連續性方程式又可寫為

量子力學[编辑]

量子力學裏,從機率守恆可以得到「機率連續性方程式」。設定一個量子系統的波函數為 。定義機率流

其中,約化普朗克常數 是質量,共軛複數 是取括弧內項目的複值。

連續方程式與機率保守定律[编辑]

機率流滿足量子力學的連續方程式

其中, 是機率密度。

應用高斯公式,等價地以積分方程式表示,

(1)

其中, 是任意三維區域, 的邊界曲面。

這就是量子力學機率守恆定律的方程式。

方程式 (1) 左邊第一個體積積分項目(不包括對於時間的偏微分),即是測量粒子位置時,粒子在 內的機率。第二個曲面積分是機率流出 的通量。總之,方程式 (1) 表明,粒子在三維區域 內的機率對於時間的微分,加上機率流出三維區域 的通量,兩者的總和等於零。

連續方程式導引[编辑]

測量粒子在三維區域 內的機率

機率對於時間的導數是

(2)

假設 含時薛丁格方程式

其中,位勢

將含時薛丁格方程式代入方程式 (2) ,可以得到

應用一則向量恆等式,可以得到

這方程式右手邊第一個項目與第三個項目互相抵銷,將抵銷後的方程式代入,

將機率密度方程式與機率流定義式代入,

這相等式對於任意三維區域 都成立,所以,被積項目在任何位置都必須等於零:

參閱[编辑]

參考文獻[编辑]

  1. ^ 1.0 1.1 1.2 Pedlosky, Joseph. Geophysical fluid dynamics. Springer. 1987: 10–13. ISBN 9780387963877. 
  2. ^ Clancy, L.J.(1975), Aerodynamics, Section 3.3, Pitman Publishing Limited, London