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連續性方程式

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在物理學裏,連續性方程式英语:continuity equation)乃是描述守恆量傳輸行為的偏微分方程式。由於在各自適當條件下,質量能量動量電荷等等,都是守恆量,很多種傳輸行為都可以用連續性方程式來描述。

連續性方程式乃是定域性的守恆定律方程式。與全域性的守恆定律相比,這種守恆定律比較強版。在本條目內的所有關於連續性方程式的範例都表達同樣的點子──在任意區域內某種守恆量總量的改變,等於從邊界進入或離去的數量;守恆量不能夠增加或減少,只能夠從某一個位置遷移到另外一個位置。

每一種連續性方程式都可以以積分形式表達(使用通量積分),描述任意有限區域內的守恆量;也可以以微分形式表達(使用散度算符),描述任意位置的守恆量。應用散度定理,可以從微分形式推導出積分形式,反之亦然。

概論

微分形式

一般的連續性方程式,其微分形式為

其中, 是某物理量 的密度(物理量每單位體積), 的流量密度(物理量每單位面積每單位時間)的向量函數(vector function), 的生成量每單位體積每單位時間。

假若 則稱 為「源點」;假若 則稱 為「匯點」。假設 是守恆量,不能夠生成或湮滅(例如,電荷),則 ,連續性方程式變為

從簡單的「能量連續性方程式」到複雜的納維-斯托克斯方程式,這方程式可以用來表示任意連續性方程式。這方程式也是平流方程式advection equation)的推廣。

其它物理學裏的方程式,像電場高斯定律高斯重力定律Gauss' law for gravity),都具有類似連續性方程式的數學形式,但是通常不會稱為連續性方程式,因為 並不代表真實物理量的流動。

積分形式

在連續性方程式的積分形式裏, 是包住體積 的任意閉曲面。如同圖內左邊的曲面(以藍色顯示), 沒有邊界;而圖內右邊的曲面都有邊界(以紅色顯示)。

根據散度定理,連續性方程式可以寫為等價的積分形式:

其中, 是包住體積 的任意固定(不隨時間改變)閉曲面, 是在體積 內的 總量, 是在積分體積 內源點與匯點的總生成量每單位時間, 是微小面向量積分元素。

舉一簡例,假設 台北101大樓 是在大樓內某時間的總人數, 是由門口、牆壁、屋頂、地基等等,共同組成的曲面,則連續性方程式表明,當人們進入大樓時(代表穿過曲面的內向通量),或當大樓裏面的孕婦生產時(代表源點的 ),在大樓裏面的總人數會增加;而當人們離開大樓時(代表穿過曲面的外向通量),在大樓裏面的總人數會減少。

電磁理論

在電磁理論裏,連續性方程式可以視為一條經驗定律,表達定域電荷守恆,或是從馬克士威方程組推導出的結果。「電荷連續性方程式」表明,電荷密度 的變率與電流密度 的散度,兩者的代數和等於零:

導引

馬克士威-安培方程式

其中,磁場電場磁常數電常數

取散度於方程式的兩邊,由於旋度散度必是零,

高斯定律的方程式為

將這方程式代入,可以得到

電流是電荷的流量。連續性方程式可以這樣論述:假若電荷從某微小體積元素移動出去(電流密度的散度是正值),則在那微小體積元素內的總電荷量會減少,電荷密度的變率是負值。從這解釋可以察覺,連續性方程式就是電荷守恆。

四維電流

四維電流密度定義為

其中, 標記哪一個時空坐標,光速

電荷守恆可以簡潔地表達為四維電流密度的散度,即連續性方程式

其中,

流體力學

流體力學裏,連續性方程式表明,在任何穩定態過程中,質量進入物理系統的速率等於離開的速率。[1][2]。連續性方程式類比於電路學克希荷夫電流定律。「質量連續性方程式」的微分形式為[1]

其中, 是流體質量密度, 是流速向量場,兩者相乘後為质量通量

假設流體是不可壓縮流,則密度 是常數,質量連續性方程式簡化為體積連續性方程式:[1]

這意味著,在所有位置,速度場的散度等於零;也就是說,定域的體積變率為零。

在另一方面,納維-斯托克斯方程式是一個向量連續性方程式,描述動量守恆

能量

根據能量守恆,能量只能夠傳輸,不能夠生成或湮滅,這導致「能量連續性方程式」。這是在熱力學定律Laws of thermodynamics)外,又一種關於能量守恆的數學論述。以方程式表達,

其中, 是能量密度(能量每單位體積), 是能量通量向量(數值大小為傳輸的能量每單位截面面積每單位時間,方向為截面的法向方向)。

根據傅立葉定律Fourier's law),對於均勻傳導介質,

其中,熱導率溫度函數。

能量連續性方程式又可寫為

量子力學

量子力學裏,從機率守恆可以得到「機率連續性方程式」。設定一個量子系統的波函數為 。定義機率流

其中,約化普朗克常數 是質量,共軛複數 是取括弧內項目的複值。

連續方程式與機率保守定律

機率流滿足量子力學的連續方程式

其中, 是機率密度。

應用高斯公式,等價地以積分方程式表示,

(1)

其中, 是任意三維區域, 的邊界曲面。

這就是量子力學機率守恆定律的方程式。

方程式 (1) 左邊第一個體積積分項目(不包括對於時間的偏微分),即是測量粒子位置時,粒子在 內的機率。第二個曲面積分是機率流出 的通量。總之,方程式 (1) 表明,粒子在三維區域 內的機率對於時間的微分,加上機率流出三維區域 的通量,兩者的總和等於零。

連續方程式導引

測量粒子在三維區域 內的機率

機率對於時間的導數是

(2)

假設 含時薛丁格方程式

其中,位勢

將含時薛丁格方程式代入方程式 (2) ,可以得到

應用一則向量恆等式,可以得到

這方程式右手邊第一個項目與第三個項目互相抵銷,將抵銷後的方程式代入,

將機率密度方程式與機率流定義式代入,

這相等式對於任意三維區域 都成立,所以,被積項目在任何位置都必須等於零:

參閱

參考文獻

  1. ^ 1.0 1.1 1.2 Pedlosky, Joseph. Geophysical fluid dynamics. Springer. 1987: 10–13. ISBN 9780387963877. 
  2. ^ Clancy, L.J.(1975), Aerodynamics, Section 3.3, Pitman Publishing Limited, London