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運動常數

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經典力學裏,對於一個動力系統,隨著時間的演進,所有保持不變的物理量都稱為運動常數constant of motion),又稱為守恆量[1]它的作用有點類似運動的約束。可是,運動常數是數學的約束,自然地從運動方程式中顯現出來,而不是物理的約束;物理的約束會有相應的約束力來維持這約束。常見的運動常數例子有能量動量角動量拉普拉斯-龍格-冷次向量

應用[编辑]

運動常數的辨認對於研究物理問題是非常重要的。通過解析運動常數,可以明瞭許多物體運動的性質,而不需將運動方程式的解答完全計算出來。假若一個物體的角動量向量是恆定的,則此物體的軌跡Trajectory)必包含於一個平面。在有些幸運的狀況下,甚至連運動軌跡都可以簡單地導引出來;因為它們是運動常數的等值曲面相交線。舉例而言,從潘索橢圓球Poinsot's ellipsoid)可以觀察出,一個淨力矩等於零的剛體旋轉,其角速度軌跡是一個圓球(角動量守恆)與一個橢圓球(能量守恆)的相交。用別種方法,這答案或許很不容易導引出。因此,運動常數的辨認是很重要的研究目標。

辨認運動常數的方法[编辑]

辨認運動常數的方法有好幾種:

  • 最簡單,但最無系統的方法是靠直覺。假設一個物理量是運動常數(或許是從分析實驗數據而得到的結論)。經過數學證明,可以論定,在物體的運動過程中,此量的值是保守的。

另外一個很有用的理論,帕松定理闡明:假若都是運動常數,則它們的帕松括號也是運動常數。

一個物理系統,假若擁有自由度個運動常數,其任何一對運動常數的帕松括號等於零,則稱此系統為完全可積分系統completely integrable system)。稱這一集合的運動常數互相對合

量子力學[编辑]

假若,一個可觀測量哈密頓量可交換的,而且不顯性地含時間,則此可觀測量是個運動常數。

導引[编辑]

假設,一個可觀測量跟位置、動量、時間有關。再假設一個波函數遵守薛丁格方程式。求期望值對於時間的導數,

其中,交換子

假若,哈密頓量可交換的,而且不顯性地含時間,則

所以,是運動常數。

參閱[编辑]

參考文獻[编辑]

  1. ^ Morin, David. Introduction to classical mechanics: with problems and solutions. Cambridge University Press. 2008: 138. ISBN 9780521876223. 
  • Griffiths, David J. Introduction to Quantum Mechanics (2nd ed.). Prentice Hall. 2004. ISBN 0-13-805326-X.