邻域系

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定义[编辑]

的映射的幂集的幂集)。这样的每个点映射至的子集族称为邻域系(或称邻域系统的元素称为邻域),当且仅当对任意的满足如下邻域公理

  • U1:若,则
  • U2:若,则。(邻域系对邻域的有限交封闭)。
  • U3:若,则
  • U4:若,则存在,使对所有,有

从邻域出发定义其它拓扑空间的基础概念:

  • 邻域定义开集的子集是开集,当且仅当对任意,有。(是其中每个点的邻域)。
  • 邻域定义开核的子集的开核
  • 邻域定义闭包的子集的闭包

参照滤子的定义。给定点x,其邻域系恰构成了一个滤子,称为邻域滤子

邻域基[编辑]

邻域基局部基,就是邻域滤子滤子基。它是的子集,满足:每个x的邻域 都存在,使

,使

反之,给出邻域基,可以反推出相应的邻域滤子:[1]

例子[编辑]

  • 一个点的邻域系也平凡的是这个点的邻域基。
  • 若拓扑空间X不可分拓扑,则任何点 x 的邻域系是整个空间
  • 度量空间中,对于任何点 x,围绕 x 有半径 1/n开球序列形成可数邻域基 。这意味着所有度量空间都是第一可数的。
这是因为向量加法在引发的拓扑中是分离连续的。所以这个拓扑确定自它的在原点的邻域系。更一般的说,只要拓扑是通过平移不变度量伪度量定义的以上结论就是真的。
  • 非空集合 A 的所有邻域系是叫做 A 的邻域滤子的滤子
  • 拓扑空间 X 中所有点 x 的局部基的并集是 X

参见[编辑]

註釋[编辑]

  1. ^ Stephen Willard, General Topology (1970) Addison-Wesley Publishing (See Chapter 2, Section 4)