邻域系

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定义[编辑]

X的映射\mathfrak{U}:X \to P(P(X))P(P(X))X的幂集的幂集)。这样\mathfrak{U}X的每个点x映射至X的子集族\mathfrak{U}(x)\mathfrak{U}(x)称为x邻域系(或称邻域系统\mathfrak{U}(x)的元素称为x邻域),当且仅当对任意的x \in X\mathfrak{U}(x)满足如下邻域公理

  • U1:若U\in\mathfrak{U}(x),则x\in U
  • U2:若U, V\in\mathfrak{U}(x),则U \cap V \in \mathfrak{U}(x)。(邻域系对邻域的有限交封闭)。
  • U3:若U\in\mathfrak{U}(x)U\subseteq V\subseteq X,则V\in\mathfrak{U}(x)
  • U4:若U\in\mathfrak{U}(x),则存在V\in\mathfrak{U}(x),使对所有y\in V,有U\in\mathfrak{U}(y)

从邻域出发定义其它拓扑空间的基础概念:

  • 邻域定义开集X的子集O是开集,当且仅当对任意x\in O,有O \in \mathfrak{U}(x)。(O是其中每个点的邻域)。
  • 邻域定义开核X的子集A的开核A^{\circ} = \{x | \exists U \in \mathfrak{U}(x), U \subseteq A \}
  • 邻域定义闭包X的子集A的闭包\overline{A} = \{x|\forall U\in \mathfrak{U}(x), U\cap A\ne\varnothing\}

参照滤子的定义。给定点x,其邻域系\mathfrak{U}(x)恰构成了一个滤子,称为邻域滤子

邻域基[编辑]

x邻域基局部基\mathcal{B}(x),就是邻域滤子\mathfrak{U}(x)滤子基。它是\mathfrak{U}(x)的子集,满足:每个x的邻域 U 都存在B \in \mathcal{B}(x),使B \subseteq U

\mathcal{B}(x) \subseteq \mathfrak{U}(x),使\forall U \in \mathfrak{U}(x)\exists B \in \mathcal{B}(x) : B \subseteq U

反之,给出邻域基\mathcal{B}(x),可以反推出相应的邻域滤子:\mathfrak{U}(x) =\{ U | \exists B \in \mathcal{B}(x), B \subseteq U \subseteq X\}[1]

例子[编辑]

  • 一个点的邻域系也平凡的是这个点的邻域基。
  • 若拓扑空间X不可分拓扑,则任何点 x 的邻域系是整个空间\mathcal{V}(x) = \{ X \}
\mathcal{V}(x) = \mathcal{V}(0) + x
这是因为向量加法在引发的拓扑中是分离连续的。所以这个拓扑确定自它的在原点的邻域系。更一般的说,只要拓扑是通过平移不变度量伪度量定义的以上结论就是真的。
  • 非空集合 A 的所有邻域系是叫做 A 的邻域滤子的滤子
  • 拓扑空间 X 中所有点 x 的局部基的并集是 X

参见[编辑]

註釋[编辑]

  1. ^ Stephen Willard, General Topology (1970) Addison-Wesley Publishing (See Chapter 2, Section 4)