邻接矩阵

邻接矩阵是表示一个图的常用存储表示。它用两个数组分别存储数据元素（顶点）的信息和数据元素之间的关系（边或弧）的信息。

距離矩陣可算是鄰接矩陣的擴充。

定义

階為$n$的圖$G$的鄰接矩陣$A$是$n\times n$的。將$G$的頂點標籤為$v_{1},v_{2},...,v_{n}$。若$(v_{i},v_{j})\in E(G)$，$A_{ij}=1$，否則$A_{ij}=0$。

无向图的鄰接矩陣是對稱矩陣。

例子

${\begin{pmatrix}1&1&0&0&1&0\\1&0&1&0&1&0\\0&1&0&1&0&0\\0&0&1&0&1&1\\1&1&0&1&0&0\\0&0&0&1&0&0\\\end{pmatrix}}.$

特性

設圖$G$的鄰接矩陣為$A$。

$A^{n}$的元素$A_{ij}^{n}$表示由頂點$i$到頂點$j$長度為$n$的徑的數目。

$G$沒有有向圈若且唯若$I-A$可逆。$(I-A)^{-1}$的元素$ij$表示由頂點$i$到頂點$j$的所有徑的數目。因為：$(I-A)^{-1}=I+A+A^{2}+A^{3}+...$

传球问题

A、B、C、D四人传球6次，从A开始，最终回到A手里，有多少种传法？

$A={\begin{pmatrix}0&1&1&1\\1&0&1&1\\1&1&0&1\\1&1&1&0\\\end{pmatrix}},A^{6}={\begin{pmatrix}183&182&182&182\\182&183&182&182\\182&182&183&182\\182&182&182&183\\\end{pmatrix}}$

其他解法

1. m个人传n次球，$\sum _{i=1}^{[{\frac {n}{2}}]}(m-1)^{i}(m-2)^{n-2i}C_{n-1-i}^{i-1}$
2. $(m-1)P_{n+1}=1-P_{n},P_{n}={\frac {1}{m}}(1-({\frac {-1}{m-1}})^{n-1})$，将P_n乘上总传法数$(m-1)^{n-1}$