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酉矩阵

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线性代数
向量 · 矩阵  · 行列式  · 线性空间

若一n行n列的複数矩阵U满足

其中为n阶单位矩阵U共轭转置,则U称为酉矩阵(又译作幺正矩阵么正矩阵。英文:Unitary Matrix, Unitary是歸一單位的意思)。即,矩阵U为酉矩阵,当且仅当其共轭转置为其逆矩阵

若酉矩阵的元素都是实数,其即为正交矩阵。与正交矩阵G不会改变两个实向量的内积类似,

酉矩阵U不改变两个复向量的内积:

为n阶方阵,则下列条件等价:

  1. 是酉矩阵
  2. 是酉矩阵
  3. 的列向量构成内积空间Cn上的一组标准正交基
  4. 的行向量构成内积空间Cn上的一组标准正交基

酉矩阵的特征值都是模为1的复数,即分布在复平面的单位圆上,因此酉矩阵行列式的值为±1。

酉矩阵是正规矩阵,由谱定理知,酉矩阵U可被分解为

其中V是酉矩阵,是主对角线上元素绝对值为1的对角阵。

对任意n,所有n阶酉矩阵的集合关于矩阵乘法构成一个

性质[编辑]

  • 可逆
  • 是酉矩阵

参见[编辑]

外部链接[编辑]