配方法

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动画描绘了配方法的过程。(动画版 GIF)

配方法,是初等代数中一種简化计算的技巧,可以用來二次方程、判別解析幾何中某些多項式的圖形,或者用來計算微积分学中的某些积分型式等。

將下方左边的多项式化成右边的形式,就是配方法的目标:

,其中常數

簡介[编辑]

基本代数中,配方法是一种用来把二次函数化为一个多项式的平方与一个常数的方法。这种方法是把以下的多项式

化为
以上表达式中的系数本身也可以是表达式,可以含有除以外的变量

配方法通常用来推导出二次方程求根公式

我们的目的是要把方程的左边化为完全平方。由于问题中的完全平方具有的形式,可導出,因此。等式两边加上,可得:

这个表达式称为二次方程的求根公式。

几何学的观点[编辑]

Completing the square.svg

考虑把以下的方程配方:

由于表示边长正方形面积表示边长为矩形面积,因此配方法可以视为矩形的操作。

如果尝试把矩形 和兩個合并成一个更大的正方形,这个正方形还会缺一个角。把以上方程的两端加上,正好是欠缺的角的面积,这就是“配方法”的名称的由来。

一般公式[编辑]

描述[编辑]

为了得到

我们必须设

得出

证明[编辑]

注意。为了把化为 的形式,我们必须进行以下的代换:

现在,依赖于,因此我们可以把来表示:

当且仅当等于零且是正数时,这些方程与以上是等价的。如果是负数,那么的表达式中的±号都表示负号──然而,如果都是负数的话,那么的值将不受影响,因此号是不需要的。

例子[编辑]

具体例子[编辑]

从中我们可以求出多项式为零时的值,也就是多项式的

我们也可以求出取得什么值时,以下的多项式为最大值或最小值:

最高次数的项的系数为正,因此的绝对值越大,就越大。但是,有一个最小值,在任何地方都不能比它更小。从完全平方的形式中,,我们可以看到,如果,那么;但如果是任何其它的数,都是加上一个非零的平方数。由于非零实数的平方都是正数,因此当不为 时,一定大于−8.45。所以,的最小值。

微积分例子[编辑]

假设我们要求出以下函数的原函数

这可以用把分母配方来完成。分母是:
把两边加上,就可以得到一个完全平方,。分母变为:

因此积分为:

复数例子[编辑]

考虑以下的表达式:

其中复数分别是共轭复数是一个实数。利用恒等式,我们可以把它写成:
这显然是一个实数。这是因为:

作为另外一个例子,以下的表达式

其中是实数,,可以用一个复数的绝对值的平方来表示。定义
那么

因此

方法的变化[编辑]

通常配方法是把第三项加在,得出一个平方。我们也可以把中间的项()加在多项式就得出一个平方。

例子:正数与它的倒数的和[编辑]

从以下的恒等式中,

我们可以看出,正数与它的倒数的和总是大于或等于 2。

例子:分解四次多项式[编辑]

假设我们要把以下的四次多项式分解:

也就是:
因此中间的项是。所以,我们有:

最后一个步骤是把所有的项按降幂方式排列。

参考文献[编辑]

外部链接[编辑]