里奇曲率張量

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微分幾何中,以格雷戈里奥·里奇-库尔巴斯托罗(Gregorio Ricci-Curbastro)為名的里奇張量里奇曲率張量(Ricci curvature tensor)提供了一項方法由給定的黎曼度規(Riemannian metric)所決定的幾何究竟偏離尋常歐幾里得 n- 空間多少的量度。如同度量張量本身,里奇張量是一個黎曼流形切空間上的對稱雙線性形式。粗略地講,里奇張量是「體積扭曲」的量度;也就是說,它指出了n-維流形中給定區域之n-維體積,其和歐幾里得n-空間中與其相當之區域的體積差異程度。更精確的描述請見下文「直接的幾何意義」段落。

正式定義[编辑]

(M,g) 是一個 n黎曼流形, 記T_pMMp點的切空間. 任給切空間 T_pM中的一對向量\xi, \eta , Ricce 張量\mathrm{Ric} (\xi , \eta ) 定義為綫性映射T_pM\to T_pM\zeta \mapsto R(\zeta,\eta) \xi 這裡 R 是所謂黎曼曲率張量. 在 局部坐標系下 (使用爱因斯坦求和约定),我們有

\operatorname{Ric} = R_{ij}\,dx^i \otimes dx^j

其中,

R_{ij} = {R^k}_{ikj}.

直接的幾何意義[编辑]

里奇曲率張量的應用[编辑]

大范围几何/拓扑与里奇曲率[编辑]

在共形變換下的行爲[编辑]

無跡的里奇張量[编辑]

黎曼幾何廣義相對論中,一個偽黎曼流形(pseudo-Riemannian manifold)(M,g)的里奇張量(trace-free Ricci tensor)是一個定義如下的張量

Z  =\operatorname{Ric}- \frac{S}{n}g

相關條目[编辑]

參考文獻[编辑]

  • A.L. Besse, Einstein manifolds, Springer (1987)
  • L.A. Sidorov, Ricci tensor//Hazewinkel, Michiel, 数学百科全书, 克鲁维尔学术出版社. 2001, ISBN 978-1556080104 
  • L.A. Sidorov, Ricci curvature//Hazewinkel, Michiel, 数学百科全书, 克鲁维尔学术出版社. 2001, ISBN 978-1556080104 
  • G. Ricci, Atti R. Inst. Venelo , 53 : 2 (1903–1904) pp. 1233–1239
  • L.P. Eisenhart, Riemannian geometry , Princeton Univ. Press (1949)
  • S. Kobayashi, K. Nomizu, Foundations of differential geometry , 1 , Interscience (1963)