重心坐标

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数学中,重心坐标是由单形(如三角形四面体等)顶点定义的坐标。重心坐标是齐次坐标的一种。

v1, ..., vn向量空间 V 中一个单形的顶点,如果 V 中某点 p 满足,

(\lambda_1 + \cdots + \lambda_n)\, p = \lambda_1 \, v_1 + \cdots +\lambda_n \, v_n ,

那么我们称系数 (λ1, ..., λn) 是 p 关于 v1, ..., vn重心坐标。这些顶点自己的坐标分别是 (1, 0, 0, ..., 0), (0, 1, 0, ..., 0), ..., (0, 0, 0, ..., 1)。重心坐标不是惟一的:对任何不等于零的 k,(k λ1, ..., k λn) 也是 p 的重心坐标。但总可以取坐标满足 λ1 + ...+ λn = 1,称为正规化坐标。注意到定义式在仿射变换下不变,故重心坐标具有仿射不变性。

如果坐标分量都非负,则 pv1, ..., vn凸包内部,即由这些顶点组成的单形包含 p。我们设想如果有质量 λ1, ..., λn 分别位于单形的顶点,那么质量中心就是 p。这是术语“重心”的起源,1827年由奥古斯特·费迪南德·莫比乌斯最初引入。

三角形的重心坐标[编辑]

Areal coordinates.png

三角形情形中,重心坐标也叫面积坐标,因为 P 点关于三角形 ABC 的重心坐标和三角形 PBC, PCAPAB 的(有向)面积成比例,证明如下(如右图所示)。

我们用黑体小写字母表示对应点的向量,比如三角形 ABC 顶点为 \textbf{a}\, ,\textbf{b}\,\textbf{c}\,,P 点为 \textbf{p} 等。设 PBC, PCAPAB 面积之比为 \lambda_1 :\lambda_2:\lambda_3\,\lambda_1+\lambda_2+\lambda_3=1,设射线 APBC 交于 D,则

BD:DC=\lambda_3 :\lambda_2 , 从而 \textbf{d}= \frac{\lambda_2 \textbf{b}+\lambda_3 \textbf{c}}{\lambda_2+\lambda_3},
AP:PD=(\lambda_2+\lambda_3) :\lambda_1 ,故
\textbf{p}=\frac{(\lambda_2+\lambda_3) \textbf{d} +\lambda_1 \textbf{a}}{\lambda_1+\lambda_2+\lambda_3}\,,

\textbf{p}=\lambda_1 \textbf{a}+\lambda_2 \textbf{b}+\lambda_3 \textbf{c}\, .

所以,(\lambda_1,\lambda_2,\lambda_3) 就是 P 的重心坐标。

坐标变换[编辑]

给定三角形平面一点 P,我们将这一点的面积坐标 \lambda_{1}\,\lambda_{2}\,\lambda_{3}\,笛卡尔坐标表示出来。

利用笛卡尔坐标中的三角形面积公式:


S(ABC)=\frac{1}{2}\begin{vmatrix}1 &x_a&y_a\\1 &x_b&y_b\\1 &x_c&y_c\\\end{vmatrix}

我们可得:


\lambda_1=S(PBC)/S(ABC)=\begin{vmatrix}1 &x_p&y_p\\1 &x_b&y_b\\1 &x_c&y_c\\\end{vmatrix}/
\begin{vmatrix}1 &x_a&y_a\\1 &x_b&y_b\\1 &x_c&y_c\\\end{vmatrix}

类似地有 \lambda_2 , \lambda_3,注意 ABC 构成一个三角形,上式的分母不可能为 0。

反过来则简单得多:

\textbf{p}=\lambda_1 \textbf{a}+\lambda_2 \textbf{b}+\lambda_3 \textbf{c} ,
x_p=\lambda_1 x_a+\lambda_2 x_b +\lambda_3 x_c ,
y_p=\lambda_1 y_a+\lambda_2 y_b +\lambda_3 y_c .

判断一点的位置[编辑]

因重心坐标是笛卡尔坐标的一个线性变换,从而它们在边和三角形区域之间的变化是线性的。如果点在三角形内部,那么所有重心坐标属于开区间 (0,1);如果一点在三角形的边上,至少有一个面积坐标 \lambda_{1...3} 为 0,其余分量位于闭区间 [0,1]。如果有某个坐标小于 0,则位于三角形外部,具体分布可参考上图。 (图示中,B和C顶端的坐标正副反了,B的应该是(-,-,+),C的是(-,+,-)

应用[编辑]

面积坐标在涉及到三角形子区域的工程学问题时特别有用,经常可以化简解析积分求值,高斯积分法表也常以面积坐标的形式给出。

考虑由顶点 \textbf{v}_{1}\,, \textbf{v}_{2}\,\textbf{v}_{3}\, 定义的三角形 T,任何在三角形内部的点 \textbf{p} 都能写成顶点的加权和:

\textbf{p} = \lambda_{1} \textbf{v}_{1} + \lambda_{2} \textbf{v}_{2} + \lambda_{3} \textbf{v}_{3},

这里 \lambda_{1}\,\lambda_{2}\,\lambda_{3}\, 是面积坐标。注意到 \lambda_{3} = 1 - \lambda_{1} - \lambda_{2}\,。 从而,函数 fT 上的积分为:


\int_{T} f(\textbf{p}) \ ds = 2S \int_{0}^{1} \int_{0}^{1 - \lambda_{2}} f(\lambda_{1} \textbf{v}_{1} + \lambda_{2} \textbf{v}_{2} +
(1 - \lambda_{1} - \lambda_{2}) \textbf{v}_{3}) \ d\lambda_{1} \ d\lambda_{2}
\,

这里 S 是三角形 T 的面积。注意上式具有线性插值的形式。

重心坐标提供了一种非结构网格上函数插值的方法,假设函数值在所有网格的顶点上已知。如果 0 \leq \lambda_i \leq 1 \;\forall\; i \in {1,2,3},则点 \textbf{p} 位于三角形内部或边界上。我们取 f 的插值为

f(\textbf{p}) = \lambda_1 f(\textbf{v}_1) + \lambda_2 f(\textbf{v}_2) + \lambda_3 f(\textbf{v}_3) ,

这个线性插值是自动正规的因为 \lambda_1+\lambda_2+\lambda_3=1

四面体的重心坐标[编辑]

重心坐标容易推广到三维空间。3 维单形即四面体,具有四个三角形面和四个顶点。

完全类似于三角形,四面体 \textbf{v}_1,\textbf{v}_2, \textbf{v}_3,\textbf{v}_4 的顶点 \textbf{v}_1的重心坐标为 (1,0,0,0),\textbf{v}_2 为 (0,1,0,0),如是等等。

\textbf{p} 的笛卡尔坐标和为关于四面体 \textbf{v}_1,\textbf{v}_2, \textbf{v}_3,\textbf{v}_4 的重心坐标的关系:


\lambda_1=\text{Vol}(PV_2V_3V_4)/\text{Vol}(V_1V_2V_3V_4),\;\lambda_2=\cdots.

这里 \text{Vol}(V_1V_2V_3V_4)\textbf{v}_1,\textbf{v}_2, \textbf{v}_3,\textbf{v}_4 组成的四面体的体积,类似于三角形也可以用笛卡尔坐标的一个行列式表示出来。

3 维重心坐标和 2 维一样,可以确定一点是否位于四面体内部,也能对四面体网格上函数插值。因为利用重心坐标可以极大地简化 3 维插值,四面体网格经常用于有限元分析

参考文献[编辑]

外部链接[编辑]