重整化群

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理论物理中,重整化群是一个在不同长度标度下考察物理系统变化的数学工具。

标度上的变化称为“标度变换”。重整化群与“标度不变性”和“共形不变性”的关系较为紧密。共形不变性包含了标度变换,它们都与自相似有关。在重整化理论中,系统在某一个标度上自相似于一个更小的标度,但描述它们组成的参量值不相同。系统的组成可以是原子基本粒子自旋等。系统的变量是以系统组成之间的相互作用来描述。

块自旋[编辑]

这一节介绍重整化群的一个简单图像:块自旋重整化群。这是由卡丹诺夫英语Leo_Kadanoff在1966年推导出来的。

首先考虑一个固体,如图所示,原子以二维正方形形式排列。假设每一个原子只与它最邻近的原子有相互作用,且这一系统的温度为,相互作用的强度使用耦合常数来描述。这一物理系统可以用一个特定的式子来表达,记为

Rgkadanoff.png

现在,我们把这个系统分为有着个方块的块区,进而用块变量来描述这个系统,这些变量可以是块内变量的平均数。我们假设这些块变量可以用相同的方程来描述,只不过参数不同(事实上这一假设当然并不成立,但在实际应用中这一近似已足够好)。

原本这个系统内有较多的原子,现在,在问题重整化后,只有四分之一个原子需要求解。按照上面的方法再迭代一次后得到,这次只需要计算最初的十六分之一个原子。当然,最好是能够迭代直到只剩下一个最大的块区。一般来说,当迭代很多次后,重整化群变换将趋向于一个不动点上的数。

现在考虑一个具体的例子:铁磁-顺磁相变中的伊辛模型。在这个模型里,耦合常数代表邻近电子自旋平行时候的相互作用力。这一模型中有三个不动点:

  1. 。从宏观上来看,温度对系统的影响变得可以忽略不计。这时系统处于铁磁相。
  2. 。与第1种情形正好相反,温度对系统的影响占据了主导,系统在宏观上变得无序。
  3. 。在这一特定的状态上,改变系统的标度不改变系统的物理性质,因为系统处于分形态上。这对应居里相变,这个点称为临界点

基本理论[编辑]

假设有一个可以用状态变量和一组耦合常数表示的函数。这个函数必须能够用来描述整个物理系统,比如某个配分函数作用量哈密顿量等等。

现在我们考虑状态变量上的块变换所包含的数目必须小于。接下来我们可以把函数只用来表示。如果也是可以实现的,那么就说这个物理系统是可重整化的。

最基本的物理理论都是可以重整化的,比如量子电动力学量子色动力学,电弱相互作用等,但是引力是无法重整化的。此外,凝聚态物理中的大部分理论也是可以被重整化的,比如超导超流

变量的变换可以由一个β函数实现:。这一函数可以在空间上导出流图。系统的宏观状态由流图上的不动点给出。

由于重整化群变换是有损的,这一变换不可逆,所以这一变换实际上是数学上的半群。

参见[编辑]

扩展阅读[编辑]

入门教程与历史回顾[编辑]

相关著作[编辑]

  • T. D. Lee; Particle physics and introduction to field theory, Harwood academic publishers, 1981, [ISBN 3-7186-0033-1]. Contains a Concise, simple, and trenchant summary of the group structure, in whose discovery he was also involved, as acknowledged in Gell-Mann and Low's paper.
  • L.Ts.Adzhemyan, N.V.Antonov and A.N.Vasiliev; The Field Theoretic Renormalization Group in Fully Developed Turbulence; Gordon and Breach, 1999. [ISBN 90-5699-145-0].
  • Vasil'ev, A.N.; The field theoretic renormalization group in critical behavior theory and stochastic dynamics; Chapman & Hall/CRC, 2004. [ISBN 9780415310024] (Self-contained treatment of renormalization group applications with complete computations);
  • Zinn-Justin, Jean ; Quantum field theory and critical phenomena, Oxford, Clarendon Press (2002), ISBN 0-19-850923-5 (a very thorough presentation of both topics);
  • The same author: Renormalization and renormalization group: From the discovery of UV divergences to the concept of effective field theories, in: de Witt-Morette C., Zuber J.-B. (eds), Proceedings of the NATO ASI on Quantum Field Theory: Perspective and Prospective, June 15–26, 1998, Les Houches, France, Kluwer Academic Publishers, NATO ASI Series C 530, 375-388 (1999) [ISBN ]. Full text available in PostScript.
  • Kleinert, H. and Schulte Frohlinde, V; Critical Properties of φ4-Theories, World Scientific (Singapore, 2001); Paperback ISBN 981-02-4658-7. Full text available in PDF.