量子態

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由於每一個銀原子最外層自旋1/2束縛電子的量子態只能是上旋|\uparrow\rangle或下旋|\downarrow\rangle斯特恩-革拉赫實驗儀器,可以將入射的銀原子束,分裂成兩道銀原子束,每一道銀原子束代表一種量子態。

量子力學裏,量子態英语quantum state)指的是量子系統的狀態,它給出量子系統的統計描述。對量子態做操作型定義,量子態可以從一系列製備程序來辨認,即這程序所製成的量子系統擁有這量子態。這是量子態的標準定義,大多數物理學者與教科書都採用這種定義。[1]:15-16

量子態可以用希爾伯特空間態向量設定。[2]:93-96例如,在計算氫原子能譜時,相關的態向量是由主量子數\{ n\} 給出。採用狄拉克標記,態向量表示為右矢|\psi\rangle;其中,在符號內部的希臘字母\psi可以是任何符號,字母,數字,或單字。例如,|n \rangle

一般而言,量子態可以是純態混合態。上述案例是純態。混合態是由很多純態組成的機率混合。不同的組合可能會組成同樣的混合態。當量子態是混合態時,可以用密度矩陣做數學描述,這密度矩陣實際給出的是機率,不是密度。純態也可以用密度矩陣表示。

如右圖所示,使用z-軸方向的斯特恩-革拉赫實驗儀器,可以將入射的銀原子束,依照自旋的z-分量S_z分裂成兩道,一道的S_z為上旋,量子態為|\uparrow\rangle|z+\rangle,另一道的S_z為下旋,量子態為|\downarrow\rangle|z-\rangle。銀原子自旋態向量存在於二維希爾伯特空間。對於這純態案例,相關的態向量|\psi\rangle=\alpha|\uparrow\rangle+\beta|\downarrow\rangle是二維複值向量(\alpha, \beta),長度為1:

|\alpha|^2+|\beta|^2=1

在測量一個量子系統之前,量子理論通常只給出測量結果的機率分佈,這機率分佈的形式完全由量子態、相關的可觀察量來決定。對於純態或混合態,都可以從密度矩陣計算出這類機率分佈。在量子力學裏,與經典力學不同,能夠確定性地給出所有性質的量子態絕對不可能被成功製備,這是為了要遵守不確定性原理,這反應出經典力學與量子力學的核心差別。儘管如此,在量子力學裏,對應於任意可觀察量,擁有其確定數值的量子態必定存在。[3]

概述[编辑]

經典力學的狀態[编辑]

設想在某經典系統裏,有一個粒子移動於一維空間,在時間t=0,粒子的位置qq_0動量pp_0。這些初始條件設定了這系統在時間t=0的狀態\sigma_0。經典力學具有決定性,若知道粒子的初始條件與作用於粒子的外力,則可決定粒子的運動行為。

在實驗方面,製備經典系統在時間t=0的狀態\sigma_0。稍後,在時間t>0,若想知道這系統的物理狀態\sigma(t) ,可以測量這粒子的運動參數,即位置q(t)與動量p(t)。其它物理量,像加速度動能等等,都是這兩個物理量的函數

在理論方面,假設經典系統在t=0的狀態是\sigma_0,則應用牛頓運動定律,即可計算出這系統在任何時間t>0的可觀察量數值。這些數值應該符合實驗測量的結果。標記這些數值為p(t)q(t)。例如,假設粒子以等速移動,則

p(t) = p_0
q(t) = p_0 t/m+q_0

其中,m是粒子質量。

量子力學的量子態[编辑]

實驗的過程可以按照先後順序細分為製備與測量兩個步驟。在統計實驗(statistical experiment)裏,雖然以同樣的方法製備多個物理系統,然後以同樣的方法進行測量,仍舊不能可靠地獲得出同樣的結果,但是,假若經過很多次重複地製備與測量,則會發覺,同樣結果的出現頻率會收斂至某固定值。量子力學也具有類似特性,雖然每一次測量能夠很準確地獲得粒子運動地數據,但不能準確預測對於可觀察量做單次測量而獲得的結果,只能夠給出各種可能獲得的結果與獲得這結果的機率分佈,這是因為製備步驟必須遵守不確定性原理[4]:44-45

在量子系統裏,量子態可以從一系列製備程序來辨認,即這程序所製成的量子系統擁有這量子態。例如,使用z-軸方向的斯特恩-革拉赫實驗儀器,可以將入射的銀原子束,依照自旋的z-分量S_z分裂成兩道,一道的S_z為上旋,量子態為|\uparrow\rangle|z+\rangle,另一道的S_z為下旋,量子態為|\downarrow\rangle|z-\rangle。又例如,假若等待足夠長久時間,就可以使得量子系統衰變至基態,前提是從激發態只能朝著無窮遠發射出能量,永遠不會反射回來。這樣,就可以製備出基態。[4]:206-209再照射適當頻率的激光,則可製備出指定的激發態。

在實驗方面,量子力學顯露出一種內稟統計行為。同樣的一個實驗重複地做很多次,每次實驗的測量結果通常不會一樣,只有從很多次的實驗結果計算出來的統計平均值,才是可複製的數值。假設,在每次實驗裏,在時間t=0,量子系統的量子態為|\sigma_0\rang。稍後,在時間t>0,測量這粒子在各個量子系統的可觀察量q(t)p(t),則能獲得在時間t>0這些可觀察量的統計平均值。特別注意,對於這兩種可觀察量並不是一起進行測量,而是獨立分開進行測量。更詳細地說,重複地做很多次同樣的實驗,測量可觀察量q(t)。由於這可觀察量是隨機變量,所以無法可靠地複製同樣結果。但是,假若重複次數足夠多(概念而言,無窮多),則能獲得在時間t>0這可觀察量q(t)的統計平均值。類似地,重複地做很多次同樣的實驗,測量可觀察量p(t),也能獲得在時間t>0這可觀察量p(t)的統計平均值。

在理論方面,假設量子系統在t=0的量子態是|\sigma_0\rang,應用埃倫費斯特定理,可以計算出可觀察量在任何時間t>0期望值。這期望值應該完全符合實驗獲得的統計平均值。標記這些期望值為\lang q(t) \rang\lang p(t) \rang。假設沒有任何外力作用於自由移動的粒子,則

\lang p(t) \rang= \lang p(0) \rang
\lang q(t) \rang = \lang p(0) \rang t/m+\lang q(0) \rang

位置的期望值與動量的期望值表現出類似經典力學的運動行為。在量子力學裏,量子態可以預測所有測量可觀察量的實驗統計結果。

薛丁格繪景與海森堡繪景[编辑]

量子系統的每一種可觀察量都有其對應的量子算符。將這量子算符作用於量子態,可以詮釋為測量其量子系統的可觀察量。在前一節量子力學論述裏,量子算符q(t)p(t)被設定為與時間有關,而量子態則在初始時間t=0就被固定為|\sigma_0\rang,與時間無關。這種理論方法稱為海森堡繪景。另一種稱為薛丁格繪景的理論方法設定量子算符與時間無關,又設定量子態與時間有關。在概念方面或在數學方面,這兩種繪景等價,推導出的結果一樣。大多數初級量子力學教科書採用的是薛丁格繪景,通過生動活潑的量子態,學生可以迅速地瞭解量子系統如何隨著時間演變。海森堡繪景比較適用於研究一些像對稱性守恆定律的基礎論題領域,例如量子場論,或者研究超大自由度系統的學術,例如統計力學[5]

量子力學形式論[编辑]

量子物理通常使用線性代數來做數學表述。每一種量子系統都有其對應的希爾伯特空間,其量子態都可以用對應的希爾伯特空間裏的向量來表現,這向量稱為態向量。假若,某態向量是另外一個態向量的純量倍數,則這兩個態向量都對應於同樣的量子態。因此,態向量的範數不具有物理意義,只有方向具有物理意義。

假若將態向量歸一化,所有態向量的範數都等於1,則所有態向量的集合是希爾伯特空間的單位球。假若,兩個歸一化態向量的唯一不同之處是它們的相位因子,則這兩個態向量代表同樣的量子態。

狄拉克標記[编辑]

在量子力學裏,數學運算時常用到線性算符內積對偶空間厄米共軛等概念。為了讓運算更加簡易、更加抽象,為了讓使用者不需要選擇表現空間,保羅·狄拉克發明了狄拉克標記。這種標記法能夠精準地表示各種各樣的量子態與其相關運算,簡略表述如下:

  • 向量的標記形式為|\psi\rangle;其中\psi可以是任何符號,字母,數字,或單字。這與一般的數學標記形式顯然地不同;通常,向量是以粗體字母,或者在上方加了一個矢號的字母來標記。
  • 稱向量為「右矢」。
  • 對於每一個右矢|\psi\rangle,都獨特地存在一個對應的左矢\langle\psi|,左矢與右矢指的是同一個量子態。在數學裏,左矢與右矢分別是彼此的厄米共軛,左矢屬於另外一個希爾伯特空間,稱為對偶空間。假設右矢|\psi\rangle的維度為有限值,則可以將右矢寫為豎排,左矢寫為橫排;取右矢的厄米共軛(即取轉置運算加上共軛複數運算),就可以得到左矢。
  • 左矢\lang\phi|與右矢|\psi\rangle的內積,可以寫為\lang \phi|\psi\rang。這內積的物理意義為在量子態|\phi\rangle裏找到量子態|\psi\rangle機率幅[6]:50

量子態的測量[编辑]

量子理論只能從量子態計算出可觀察量的機率分佈,因此只能預測可觀察量的機率分佈,除了一些特別案例之外,不能準確預測(機率小於1)對可觀察量做測量獲得的數值,這反映出經典物理與量子物理之間的重要差異,在經典力學裏,測量的結果本質上是決定性的,而不是機率性的。儘管如此,在量子力學裏,對於任意可觀察量,必定存在一組本徵態。假設量子系統的量子態是其中任意本徵態,則測量這量子系統的可觀察量得到的數值必定等於其對應的本徵值,量子力學可以準確預測這本徵值

反過來說,假設給定了量子系統所有可觀察量的機率分佈,則可決定量子系統的量子態。[4]:46-47但是,決定量子態,並不一定需要所有可觀察量的機率分佈;大多數時候,只需要給定某些可觀察量的機率分佈,就可以決定量子態,其它可觀察量的機率分佈,可以從量子態計算出來。

假設,某量子系統的可觀察量標記為O,其對應的量子算符\hat{O},可能有很多不同的本徵值O_i與對應的本徵態|e_i\rang,這些本徵態|e_i\rang,\quad i=1,\ 2,\ 3,\ \cdots,形成了具有正交歸一性基底[2]:96-99

\lang e_i |e_j\rang=\delta_{ij}

其中,\delta_{ij}克羅內克函數

描述這量子系統的量子態|\psi\rang,可以用這基底表示為

|\psi\rang=\sum_i \ c_i|e_i\rang

其中,c_i=\lang e_i |\psi \rang是複係數,是在量子態|e_i\rang裏找到量子態|\psi\rangle機率幅[6]:50

重複地做很多次同樣的實驗,在每次實驗裏,量子系統的量子態都設定為|\psi\rang,則對於每一個量子系統的可觀察量O做測量,可能得到的結果是各種本徵態|e_i\rang的本徵值O_i,獲得這些不同結果的次數具有機率性,可以表達為機率分佈,結果為O_i的機率是|c_i|^2

假設測量的結果是本徵值O_i,則可以推斷測量後的量子態是本徵態|e_i\rang。假若立刻再測量可觀察量O,由於量子態仍舊是本徵態|e_i\rang,所得到的測量值是本徵值O_i的機率為1,量子態|\psi\rang是「確定態」。

設想另一種可觀察量R,其對應的算符\hat{R}與算符\hat{O}對易關係

[\hat{R},\hat{O}]\ne 0

稱這兩種可觀察量為不相容可觀察量。假若立刻再對本徵態|e_i\rang測量可觀察量R,則又會得到統計性的答案。

單粒子系統的基底量子態[编辑]

離散案例[编辑]

假設,某量子系統的可觀察量標記為O,其對應的量子算符\hat{O},可能有很多不同的本徵值O_i與對應的本徵態|e_i\rang,這些本徵態|e_i\rang,\quad i=1,\ 2,\ 3,\ \cdots,形成了具有正交歸一性基底[2]:96-99描述這量子系統的量子態|\psi\rang,可以用這基底的本徵態表示為

|\psi\rang=\sum_i \ c_i|e_i\rang

其中,c_i=\lang e_i |\psi \rang是複係數,是在量子態|e_i\rang裏找到量子態|\psi\rangle機率幅[6]:50

c_i|\psi\rang|{e_i}\rang的內積:

c_i=\lang {e_i} | \psi \rang

因此,|\psi\rang可以表示為

| \psi \rang = \sum_i  |e_i\rangle\lang {e_i} | \psi \rang

定義投影算符\hat{\Lambda}_i

\hat{\Lambda}_i\ \stackrel{def}{=}\ |e_i\rangle\lang {e_i} |

投影算符\hat{\Lambda}_i作用於量子態,投射出平行於|{e_i}\rang的部分:

\hat{\Lambda}_i  | \psi \rang=|{e_i}\rang\lang {e_i} | \psi \rang=c_i|{e_i}\rang

量子態|\psi\rang是所有投影部分的總和:

| \psi \rang = \sum_i|{e_i}\rang\lang {e_i} | \psi \rang= \sum_i\hat{\Lambda}_i| \psi \rangle

由於量子態|\psi\rang可以是任意量子態,因此,基底量子態具有閉包性,或完備性

\sum_i\hat{\Lambda}_i =\sum_i  |e_i\rangle\lang {e_i} | =1

其中,在公式最右邊的1代表單位算符。

由於這基底滿足正交歸一性

\lang\psi|\psi\rang=\sum_i |c_i|^2 = 1

連續案例[编辑]

位置x是一種連續的可觀察量,具有連續的本徵值譜:

\hat{x}|x\rang =x|x\rang

其中,\hat{x}是對應於可觀察量x的算符,|x\rang是本徵值為x的連續本徵態。

對於這連續本徵態|x\rang所組成的基底,必須將前一節提到的離散和,加以修改為積分:

| \psi \rang = \int_{-\infty}^{\infty} \mathrm{d}x\ |x\rang\lang x|\psi\rang

又必須將克羅內克函數改變為狄拉克δ函數

\lang x|x' \rang =\delta(x-x')

由於量子態|\psi\rang可以是任意量子態,因此,連續基底量子態具有閉包性,或完備性

\int_{-\infty}^{\infty} \mathrm{d}x\ |x\rang\lang x|=1

由於這基底滿足正交歸一性

\lang\psi|\psi\rang=\int_{-\infty}^{\infty} \mathrm{d}x\  \lang\psi|x'\rang\lang x'|x\rang  \lang x|\psi\rang
=\int_{-\infty}^{\infty} \mathrm{d}x\  \delta(x-x')\lang\psi|x'\rang \lang x|\psi\rang=\int_{-\infty}^{\infty} \mathrm{d}x\   |\lang x|\psi\rang|^2=1

從這方程式,可以推論 |\lang x|\psi\rang|^2\mathrm{d}x是粒子處於位置xx+\mathrm{d}x之間的機率。

內積\lang x|\psi\rang就是波動力學波函數\psi(x)

\psi(x)\ \stackrel{def}{=}\ \lang x|\psi\rang

態疊加原理[编辑]

雙縫實驗草圖,從光源a散發出來的單色光,照射在一座有兩條狹縫bc的不透明擋牆S2。在擋牆的後面,設立了一個照相底片或某種偵測屏障F,用來紀錄到達F的任何位置d光波數據。最右邊黑白相間的條紋,顯示出光波在偵測屏障F的干涉圖樣

假設某量子系統的量子態可能是|\alpha\rangle|\beta\rangle這兩個不同的歸一化量子態,則這量子系統也可能處於它們線性疊加而成的量子態c_\alpha|\alpha\rang+c_\beta|\beta\rang(可能尚未歸一化)。假設\theta為實數,則雖然量子態e^{i\theta}|\beta\rang|\beta\rang對應於同樣的量子態,他們並無法互相替換。例如,|\alpha\rang+|\beta\rang|\alpha\rang+e^{i\theta}|\beta\rang是兩個不同的量子態。但是,|\alpha\rang+|\beta\range^{i\theta}(|\alpha\rang+|\beta\rang)對應於同一個量子態。因此可以這樣說,整體的相位因子並不具有物理意義,但相對的相位因子具有重要的物理意義。

例如,在雙縫實驗裏,光子的量子態是兩個不同量子態的疊加。其中一個量子態是通過狹縫b。另外一個量子態是通過狹縫c。光子抵達偵測屏障的位置d,這位置離開兩條狹縫的距離之差值bd-cd,與兩個量子態的相對相位有關。由於這相對相位,在偵測屏障的某些位置,會造成相长干涉,在另外一些位置,會造成相消干涉。

再舉一個例子,拉比振動,可以顯示出相對相位在量子態疊加中的重要性。這是一個雙態系統,兩個本徵態的本徵能級不一樣。那麼,因為態疊加的相對相位隨著時間而改變,疊加後的量子態會反復不停地振動於兩個本徵態。

參閱[编辑]

註釋[编辑]

參考文獻[编辑]

  1. ^ Laloe, Franck, Do We Really Understand Quantum Mechanics, Cambridge University Press. 2012, ISBN 978-1-107-02501-1 
  2. ^ 2.0 2.1 2.2 Griffiths, David J., Introduction to Quantum Mechanics (2nd ed.), Prentice Hall. 2004, ISBN 0-13-111892-7 
  3. ^ Ballentine, L. E., The Statistical Interpretation of Quantum Mechanics, Reviews of Modern Physics. 1970, 42: 358–381, doi:10.1103/RevModPhys.42.358 
  4. ^ 4.0 4.1 4.2 Ballentine, Leslie. Quantum Mechanics: A Modern Development 2nd, illustrated, reprint. World Scientific. 1998. ISBN 9789810241056. 
  5. ^ Gottfried, Kurt; Yan, Tung-Mow. Quantum Mechanics: Fundamentals 2nd, illustrated. Springer. 2003: pp. 65. ISBN 9780387955766. 
  6. ^ 6.0 6.1 6.2 Sakurai, J. J.; Napolitano, Jim, Modern Quantum Mechanics. 2nd, Addison-Wesley. 2010, ISBN 978-0805382914