鏈環

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交換代數中,一個交換環 R 被稱作鏈環,若且唯若對任何一對素理想

\mathfrak{p} \subset \mathfrak{q}

任何嚴格遞增的素理想鏈

 \mathfrak{p} = \mathfrak{p}_0 \subset \mathfrak{p}_1 \subset \cdots \subset \mathfrak{p}_n = \mathfrak{q}

皆包含於一個從 \mathfrak{p}\mathfrak{q} 的有限長極大鏈,而且此極大鏈的長度僅依賴於 \mathfrak{p}, \mathfrak{q}。因此我們有一個從素理想對 \{ ( \mathfrak{p},\mathfrak{q}) \in \mathrm{Spec}(R)^2 : \mathfrak{p} \subset \mathfrak{q} \}\mathbb N 的映射。在代數幾何上,此條件能理解為維度可明確定義。

一個環被稱為泛鏈環,若且唯若其上的任何有限生成代數都是鏈環。

例子[编辑]

幾乎所有代數幾何中出現的諾特環都是泛鏈環,包括以下例子:

  • 完備諾特局部環
  • 戴德金環
  • Cohen-Macaulay 環
  • 泛鏈環的局部化仍為泛鏈環

非泛鏈環甚難構造。第一個例子由永田雅宜於1956年造出,這是個諾特局部整環,它是鏈環而非泛鏈環(見參考文獻 Local Rings 第 203 頁例 2)。

文獻[编辑]

  • H. Matsumura, Commutative algebra ISBN 0-8053-7026-9.
  • Nagata, Masayoshi Local rings. Interscience Tracts in Pure and Applied Mathematics, No. 13 Interscience Publishers a division of John Wiley & Sons,New York-London 1962, reprinted by R. E. Krieger Pub. Co (1975) ISBN 0882752286