長度 (模論)

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數學中,設 ,一個 -長度是一個整數(包括無窮大),它推廣了向量空間維度。有限長度的模與有限維向量空間有許多共通性。

動機[编辑]

單模是除了零和本身外沒有子模的,這種模有時也稱為不可約模。例如不可約的向量空間(視為除環上的模)是一條直線。對於單模,我們只可能造出一種嚴格遞增的子模鏈:

單模是容易處理的對象。對於一個 上的 -模 ,如果我們能找到一條嚴格遞增的子模鏈:

使得每個子商 都是單模,那麼此鏈將是極大的——我們無法插入新的子模。根據以下將闡述的定義,這時 將是有限長度的模,其長度 恰為

因此單模正好是長度為一的模。另一個例子:設 是域 上的有限維向量空間,那麼一個極大的子模鏈是一族子空間 ,使得維度在每一步都加一:

而此時 ,這種資料稱作

定義[编辑]

為一個(可能非交換), 一個 -模 長度定義為嚴格遞增的子模鏈長度的上確界:此即最大可能的整數 (可能是無窮大),使得 中存在嚴格遞增的子模鏈 。模 的長度記為 ,不致混淆時也逕寫作

例子[编辑]

  • 單模的充要條件是長度為一。
  • 對於向量空間,長度等於維度。
  • 整數環 視為 -模,則其長度為無窮大,因為存在任意長的子模鏈
  • 設正整數 的素因數分解為 ,則有

性質[编辑]

有限長的模具有許多類似有限維向量空間的性質。例如:若 為有限長模,則其子模皆有限長,設 為兩個子模,,則

我們有 Grassman 公式:

對於有限長模 ,一個極大的子模鏈 稱為一個合成列,其長度 是固定的,且合成因子 在至多差一個置換與同構的意義下唯一。

此外,一個模是有限長模若且唯若它同時是阿廷模諾特模

文獻[编辑]

  • Serge Lang, Algebra (2002), Graduate Texts in Mathematics 211, Springer. ISBN 0-387-95385-X