長度 (模論)

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數學中,設 A,一個 A-長度是一個整數(包括無窮大),它推廣了向量空間維度。有限長度的模與有限維向量空間有許多共通性。

動機[编辑]

單模是除了零和本身外沒有子模的,這種模有時也稱為不可約模。例如不可約的向量空間(視為除環上的模)是一條直線。對於單模,我們只可能造出一種嚴格遞增的子模鏈:

\{0\} \subsetneq M

單模是容易處理的對象。對於一個 A 上的 A-模 M,如果我們能找到一條嚴格遞增的子模鏈:

M_0 = \{0\} \subsetneq M_1 \subsetneq \cdots \subsetneq M_{n-1} \subsetneq M_n = M

使得每個子商 M_k/M_{k-1} 都是單模,那麼此鏈將是極大的——我們無法插入新的子模。根據以下將闡述的定義,這時 M 將是有限長度的模,其長度 \ell_R(M)恰為 n

因此單模正好是長度為一的模。另一個例子:設 E 是域 k 上的有限維向量空間,那麼一個極大的子模鏈是一族子空間 (E_k)_{0 \leq k},使得維度在每一步都加一:

E_0 = \{0\} \subsetneq E_1 \subsetneq \cdots \subsetneq E_{n-1} \subsetneq E_n = E

而此時 \dim_k E = \ell_k(E),這種資料稱作

定義[编辑]

A 為一個(可能非交換), 一個 A-模 M長度定義為嚴格遞增的子模鏈長度的上確界:此即最大可能的整數 n(可能是無窮大),使得 M 中存在嚴格遞增的子模鏈  M_0 \subsetneq M_1 \subsetneq \cdots \subsetneq M_n。模 M 的長度記為 \ell_A(M),不致混淆時也逕寫作 \ell(M)

例子[编辑]

  • M單模的充要條件是長度為一。
  • 對於向量空間,長度等於維度。
  • 整數環 \Z 視為 \Z-模,則其長度為無窮大,因為存在任意長的子模鏈 2^n \Z \subsetneq 2^{n-1} \Z \subsetneq \cdots \subsetneq 2 \Z \subsetneq \Z
  • 設正整數 n 的素因數分解為 n = \prod_p p^{n_p},則有
\ell_\Z(\Z / n\Z) = \sum_p n_p

性質[编辑]

有限長的模具有許多類似有限維向量空間的性質。例如:若 M 為有限長模,則其子模皆有限長,設 N, P 為兩個子模,\ell(N) = \ell(P)N \subseteq P,則 N=P

我們有 Grassman 公式:

\ell(N + P) + \ell(N \cap P) = \ell(N) + \ell(P)

對於有限長模 M,一個極大的子模鏈 \{0\} = M_0 \subsetneq \cdots \subsetneq M_n = M 稱為一個合成列,其長度 n 是固定的,且合成因子 M_i/M_{i+1} 在至多差一個置換與同構的意義下唯一。

此外,一個模是有限長模若且唯若它同時是阿廷模諾特模

文獻[编辑]

  • Serge Lang, Algebra (2002), Graduate Texts in Mathematics 211, Springer. ISBN 0-387-95385-X