長球面坐標系

圖 1 ）長球面坐標系的幾個坐標曲面。紅色長球面的 $\mu =1$$\mu =1$ 。藍色半個雙葉雙曲面的 $\nu =45^{\circ }$$\nu =45^{{\circ }}$ 。黃色半平面的 $\phi =-60^{\circ }$$\phi =-60^{{\circ }}$ （黃色半平面與 xz-半平面之間的二面角角度是 $\left|\phi \right|$$\left|\phi \right|$ ）。z-軸是垂直的，以白色表示。 x-軸以綠色表示。三個坐標曲面相交於點 P （以黑色的圓球表示），直角坐標大約為 $(0.831,\ -1.439,\ 2.182)$$(0.831,\ -1.439,\ 2.182)$ 。

圖 2 ）兩個焦點在 z-軸的橢圓坐標系繪圖。横軸是 x-軸，豎軸是 z-軸。紅色橢圓（ $\mu$$\mu$-等值線）變成上圖的紅色長球面（ $\mu$$\mu$ 坐標曲面），而 $x>0$$x>0$ 青藍色雙曲線（ $\nu$$\nu$-等值線）則變成藍色雙葉雙曲面（ $\nu$$\nu$ 坐標曲面）。

長球面坐標系是一種三維正交坐標系。設定二維橢圓坐標系包含於 xz-平面；兩個焦點 $F_{1}$$F_{{1}}$ 與 $F_{2}$$F_{{2}}$ 的直角坐標分別為 $(0,\ 0,\ -a)$$(0,\ 0,\ -a)$ 與 $(0,\ 0,\ a)$$(0,\ 0,\ a)$ 。將橢圓坐標系繞著 z-軸旋轉，則可以得到長球面坐標系。（假若，繞著 y-軸旋轉，則可以得到扁球面坐標系。）橢圓坐標系的兩個焦點，包含於 z-軸。長球面坐標系可以被視為橢球坐標系的極限案例，其兩個最短的半軸的長度相同。

基本定義

在三維空間裏，一個點 P 的長球面坐標 $(\mu ,\ \nu ,\ \phi )$$(\mu ,\ \nu ,\ \phi )$ 常見的定義是

$x=a\ \sinh \mu \ \sin \nu \ \cos \phi$$x=a\ \sinh \mu \ \sin \nu \ \cos \phi$ 、

$y=a\ \sinh \mu \ \sin \nu \ \sin \phi$$y=a\ \sinh \mu \ \sin \nu \ \sin \phi$ 、

$z=a\ \cosh \mu \ \cos \nu$$z=a\ \cosh \mu \ \cos \nu$ ；

其中，$\mu \geq 0$$\mu \geq 0$ 是個實數，弧度 $0\leq \nu \leq \pi$$0\leq \nu \leq \pi$ ，弧度 $0\leq \phi \leq 2\pi$$0\leq \phi \leq 2\pi$ 。

坐標曲面

$\mu$$\mu$ 坐標曲面是長球面：

${\frac {z^{2}}{a^{2}\cosh ^{2}\mu }}+{\frac {x^{2}+y^{2}}{a^{2}\sinh ^{2}\mu }}=\cos ^{2}\nu +\sin ^{2}\nu =1$${\frac {z^{{2}}}{a^{{2}}\cosh ^{{2}}\mu }}+{\frac {x^{{2}}+y^{{2}}}{a^{{2}}\sinh ^{{2}}\mu }}=\cos ^{{2}}\nu +\sin ^{{2}}\nu =1$ 。

每一個長球面都是由橢圓繞著 z-軸旋轉形成的。橢球面與 xz-平面的相交，是一個橢圓。沿著 x-軸，橢圓的短半軸長度為 $a\sinh \mu$$a\sinh \mu$ ，沿著 z-軸，橢圓的長半軸長度為 $a\cosh \mu$$a\cosh \mu$ 。橢圓的焦點都包含於 z-軸，z-坐標分別為 $\pm a$$\pm a$ 。

$\nu$$\nu$ 坐標曲面是半個旋轉雙葉雙曲面：

${\frac {z^{2}}{a^{2}\cos ^{2}\nu }}-{\frac {x^{2}+y^{2}}{a^{2}\sin ^{2}\nu }}=\cosh ^{2}\mu -\sinh ^{2}\mu =1$${\frac {z^{{2}}}{a^{{2}}\cos ^{{2}}\nu }}-{\frac {x^{{2}}+y^{{2}}}{a^{{2}}\sin ^{{2}}\nu }}=\cosh ^{{2}}\mu -\sinh ^{{2}}\mu =1$ 。

當 $\nu <\pi /2$$\nu <\pi /2$ 時，坐標曲面在 xy-平面以上；當 $\nu >\pi /2$$\nu >\pi /2$ 時，坐標曲面在 xy-平面以下。

$\phi$$\phi$ 坐標曲面是個半平面 ：

$x\sin \phi -y\cos \phi =0$$x\sin \phi -y\cos \phi =0$ 。

標度因子

長球面坐標 $\mu$$\mu$ 與 $\nu$$\nu$ 的標度因子相等：

$h_{\mu }=h_{\nu }=a{\sqrt {\sinh ^{2}\mu +\sin ^{2}\nu }}$$h_{{\mu }}=h_{{\nu }}=a{\sqrt {\sinh ^{{2}}\mu +\sin ^{{2}}\nu }}$ 。

方位角 $\phi$$\phi$ 的標度因子為

$h_{\phi }=a\sinh \mu \ \sin \nu$$h_{{\phi }}=a\sinh \mu \ \sin \nu$ 。

無窮小體積元素是

$dV=a^{3}\sinh \mu \ \sin \nu \ \left(\sinh ^{2}\mu +\sin ^{2}\nu \right)d\mu d\nu d\phi$$dV=a^{{3}}\sinh \mu \ \sin \nu \ \left(\sinh ^{{2}}\mu +\sin ^{{2}}\nu \right)d\mu d\nu d\phi$ 。

拉普拉斯算子是

$\nabla ^{2}\Phi ={\frac {1}{a^{2}\left(\sinh ^{2}\mu +\sin ^{2}\nu \right)}}\left[{\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial \mu ^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial \nu ^{2}}}+\coth \mu {\frac {\partial \Phi }{\partial \mu }}+\cot \nu {\frac {\partial \Phi }{\partial \nu }}\right]+{\frac {1}{a^{2}\sinh ^{2}\mu \sin ^{2}\nu }}{\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial \phi ^{2}}}$$\nabla ^{{2}}\Phi ={\frac {1}{a^{{2}}\left(\sinh ^{{2}}\mu +\sin ^{{2}}\nu \right)}}\left[{\frac {\partial ^{{2}}\Phi }{\partial \mu ^{{2}}}}+{\frac {\partial ^{{2}}\Phi }{\partial \nu ^{{2}}}}+\coth \mu {\frac {\partial \Phi }{\partial \mu }}+\cot \nu {\frac {\partial \Phi }{\partial \nu }}\right]+{\frac {1}{a^{{2}}\sinh ^{{2}}\mu \sin ^{{2}}\nu }}{\frac {\partial ^{{2}}\Phi }{\partial \phi ^{{2}}}}$ 。

其它微分算子，像 $\nabla \cdot \mathbf {F}$$\nabla \cdot {\mathbf {F}}$ ， $\nabla \times \mathbf {F}$$\nabla \times {\mathbf {F}}$ ，都可以用 $(\mu ,\ \nu ,\ \phi )$$(\mu ,\ \nu ,\ \phi )$ 坐標表示，只要將標度因子代入在正交坐標系條目內對應的一般公式。

應用

當邊界條件涉及長球面時，長球面坐標時常可以用來解析偏微分方程式。例如，位置分別在 z-軸兩個焦點的電子，會產生怎樣的靜電場？一個關於氫離子 $H_{2}^{+}$$H_{2}^{+}$ 的問題是，當移動於兩個正價的原子核中間時，一個電子的波函數是什麼？另外一個很實際的問題是，兩個小電極尖端之間的電場是什麼？極限案例包括一根電線段 ($\mu =0$$\mu=0$) 產生的電場，缺了一線段的一根電線 ($\nu =0$$\nu =0$) 產生的電場。

第二種表述

圖 3 ）第二種長球面坐標系 $(\sigma ,\ \tau ,\ \phi )$$(\sigma ,\ \tau ,\ \phi )$ 的三個坐標曲面。紅色長球面的 $\sigma =1.54$$\sigma =1.54$ 坐標曲面。藍色半個旋轉雙曲面的 $\tau =0.71$$\tau =0.71$ 坐標曲面 。黃色半平面的 $\phi =-60^{\circ }$$\phi =-60^{{\circ }}$ 坐標曲面 （黃色半平面與 xz-半平面之間的二面角角度是 $\left|\phi \right|$$\left|\phi \right|$ ）。z-軸是垂直的，以白色表示。 x-軸以綠色表示。三個坐標曲面相交於點 P （以黑色的圓球表示）。直角坐標大約為 $(0.831,\ -1.439,\ 2.182)$$(0.831,\ -1.439,\ 2.182)$ 。

另外，還有一種比較有幾何直覺性的扁球面坐標系 $(\sigma ,\ \tau ,\ \phi )$$(\sigma ,\ \tau ,\ \phi )$ ：

$\sigma =\cosh \mu$$\sigma =\cosh \mu$ 、

$\tau =\cos \nu$$\tau =\cos \nu$ 、

$\phi =\phi$$\phi =\phi$ 。

其中，$\sigma \geq 1$$\sigma \geq 1$ 是個實數，$1\geq \tau \geq -1$$1\geq \tau \geq -1$ 是個實數，弧度 $0\leq \phi \leq 2\pi$$0\leq \phi \leq 2\pi$ 。

與扁球面坐標系不同，長球面坐標系並沒有簡併。在三維空間裏，長球面坐標系與直角坐標有一一對應關係:

$x=a{\sqrt {\left(\sigma ^{2}-1\right)\left(1-\tau ^{2}\right)}}\cos \phi$$x=a{\sqrt {\left(\sigma ^{{2}}-1\right)\left(1-\tau ^{{2}}\right)}}\cos \phi$ 、

$y=a{\sqrt {\left(\sigma ^{2}-1\right)\left(1-\tau ^{2}\right)}}\sin \phi$$y=a{\sqrt {\left(\sigma ^{{2}}-1\right)\left(1-\tau ^{{2}}\right)}}\sin \phi$ 、

$z=a\ \sigma \ \tau$$z=a\ \sigma \ \tau$ 。

坐標曲面

$\sigma$$\sigma$ 坐標曲面是長球面：

${\frac {z^{2}}{a^{2}\sigma ^{2}}}+{\frac {x^{2}+y^{2}}{a^{2}(\sigma ^{2}-1)}}=1$${\frac {z^{{2}}}{a^{{2}}\sigma ^{{2}}}}+{\frac {x^{{2}}+y^{{2}}}{a^{{2}}(\sigma ^{{2}}-1)}}=1$ 。

每一個長球面都是由橢圓繞著 z-軸旋轉形成的。橢球面與 xz-平面的相交，是一個橢圓。沿著 x-軸，橢圓的短半軸長度為 $a{\sqrt {\sigma ^{2}-1}}$$a{\sqrt {\sigma ^{2}-1}}$ ，沿著 z-軸，橢圓的長半軸長度為 $a\sigma$$a\sigma$ 。橢圓的焦點都包含於 z-軸，z-坐標分別為 $\pm a$$\pm a$ 。

$\tau$$\tau$ 坐標曲面是半個旋轉雙曲面：

${\frac {z^{2}}{a^{2}\tau ^{2}}}-{\frac {x^{2}+y^{2}}{a^{2}(1-\tau ^{2})}}=1$${\frac {z^{{2}}}{a^{{2}}\tau ^{2}}}-{\frac {x^{{2}}+y^{{2}}}{a^{{2}}(1-\tau ^{2})}}=1$ 。

當 $\tau >0$$\tau >0$ 時，坐標曲面在 xy-平面以上；當 $\tau <0$$\tau <0$ 時，坐標曲面在 xy-平面以下。

$\phi$$\phi$ 坐標曲面是個半平面 ：

$x\sin \phi -y\cos \phi =0$$x\sin \phi -y\cos \phi =0$ 。

任何一點 P 與焦點 $F_{1}$$F_{{1}}$ ，$F_{2}$$F_{{2}}$ 的距離 $d_{1}$$d_1$ ，$d_{2}$$d_2$ ，可以一個很簡單的公式表示：

$d_{1}+d_{2}=2a\sigma$$d_{{1}}+d_{{2}}=2a\sigma$ 、

$d_{1}-d_{2}=2a\tau$$d_{{1}}-d_{{2}}=2a\tau$ 。

所以，點 P 與焦點 $F_{1}$$F_{{1}}$ 的距離 $d_{1}$$d_1$ 是 $a(\sigma +\tau )$$a(\sigma +\tau )$ ，點 P 與焦點 $F_{2}$$F_{{2}}$ 的距離 $d_{2}$$d_2$ 是 $a(\sigma -\tau )$$a(\sigma -\tau )$ 。（回想 $F_{1}$$F_{{1}}$ ，$F_{2}$$F_{{2}}$ 都是在 z-軸，分別位於 $z=-a$$z=-a$ ，$z=+a$$z=+a$ 。）

標度因子

第二種長球面坐標 $(\sigma ,\ \tau ,\ \phi )$$(\sigma ,\ \tau ,\ \phi )$ 的標度因子分別為:

$h_{\sigma }=a{\sqrt {\frac {\sigma ^{2}-\tau ^{2}}{\sigma ^{2}-1}}}$$h_{{\sigma }}=a{\sqrt {{\frac {\sigma ^{{2}}-\tau ^{{2}}}{\sigma ^{{2}}-1}}}}$ 、

$h_{\tau }=a{\sqrt {\frac {\sigma ^{2}-\tau ^{2}}{1-\tau ^{2}}}}$$h_{{\tau }}=a{\sqrt {{\frac {\sigma ^{{2}}-\tau ^{{2}}}{1-\tau ^{{2}}}}}}$ 、

$h_{\phi }=a{\sqrt {\left(\sigma ^{2}-1\right)\left(1-\tau ^{2}\right)}}$$h_{{\phi }}=a{\sqrt {\left(\sigma ^{{2}}-1\right)\left(1-\tau ^{{2}}\right)}}$ 。

無窮小體積元素是

$dV=a^{3}\left(\sigma ^{2}-\tau ^{2}\right)d\sigma d\tau d\phi$$dV=a^{{3}}\left(\sigma ^{{2}}-\tau ^{{2}}\right)d\sigma d\tau d\phi$ 。

拉普拉斯算子是

$\nabla ^{2}\Phi ={\frac {1}{a^{2}\left(\sigma ^{2}-\tau ^{2}\right)}}\left\{{\frac {\partial }{\partial \sigma }}\left[\left(\sigma ^{2}-1\right){\frac {\partial \Phi }{\partial \sigma }}\right]+{\frac {\partial }{\partial \tau }}\left[\left(1-\tau ^{2}\right){\frac {\partial \Phi }{\partial \tau }}\right]\right\}+{\frac {1}{a^{2}\left(\sigma ^{2}-1\right)\left(1-\tau ^{2}\right)}}{\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial \phi ^{2}}}$$\nabla ^{{2}}\Phi ={\frac {1}{a^{{2}}\left(\sigma ^{{2}}-\tau ^{{2}}\right)}}\left\{{\frac {\partial }{\partial \sigma }}\left[\left(\sigma ^{{2}}-1\right){\frac {\partial \Phi }{\partial \sigma }}\right]+{\frac {\partial }{\partial \tau }}\left[\left(1-\tau ^{{2}}\right){\frac {\partial \Phi }{\partial \tau }}\right]\right\}+{\frac {1}{a^{{2}}\left(\sigma ^{{2}}-1\right)\left(1-\tau ^{{2}}\right)}}{\frac {\partial ^{{2}}\Phi }{\partial \phi ^{{2}}}}$ 。

其它微分算子，像 $\nabla \cdot \mathbf {F}$$\nabla \cdot {\mathbf {F}}$ ， $\nabla \times \mathbf {F}$$\nabla \times {\mathbf {F}}$ ，都可以用 $(\mu ,\ \nu ,\ \phi )$$(\mu ,\ \nu ,\ \phi )$ 坐標表示，只要將標度因子代入在正交坐標系條目內對應的一般公式。

應用

如同球坐標解答的形式為球諧函數，拉普拉斯方程可以用分離變數法來求解，得到形式為長扁球諧函數的答案。假若，邊界條件涉及長球面，我們可以優先選擇這方法來解析。

參考目錄

不按照命名常規

• Morse PM, Feshbach H. Methods of Theoretical Physics, Part I. New York: McGraw-Hill. 1953: p. 661.  引文格式1维护：冗余文本 (link) 採用 $\xi _{1}=a\cosh \mu$$\xi _{1}=a\cosh \mu$ 、$\xi _{2}=\sin \nu$$\xi _{2}=\sin \nu$ 、$\xi _{3}=\cos \phi$$\xi _{3}=\cos \phi$ 。

• Zwillinger D. Handbook of Integration. Boston, MA: Jones and Bartlett. 1992: p. 114. ISBN 0-86720-293-9.  引文格式1维护：冗余文本 (link) 如同 Morse & Feshbach (1953) ，採用 $u_{k}$$u_{k}$ 來替代 $\xi _{k}$$\xi _{k}$ 。

• Smythe, WR. Static and Dynamic Electricity 3rd ed. New York: McGraw-Hill. 1968.  引文格式1维护：冗余文本 (link)

• Sauer R, Szabó I. Mathematische Hilfsmittel des Ingenieurs. New York: Springer Verlag. 1967: p. 97.  引文格式1维护：冗余文本 (link) 採用混合坐標 $\xi =\cosh \mu$$\xi =\cosh \mu$ 、$\eta =\sin \nu$$\eta =\sin \nu$ 、$\phi =\phi$$\phi =\phi$ 。

按照命名常規

• Korn GA, Korn TM. Mathematical Handbook for Scientists and Engineers. New York: McGraw-Hill. 1961: p. 177.  引文格式1维护：冗余文本 (link) 採用第一種表述 $(\mu ,\ \nu ,\ \phi )$$(\mu ,\ \nu ,\ \phi )$ ，又加介紹了簡併的第三種表述 $(\sigma ,\ \tau ,\ \phi )$$(\sigma ,\ \tau ,\ \phi )$ 。

• Margenau H, Murphy GM. The Mathematics of Physics and Chemistry. New York: D. van Nostrand. 1956: p. 180–182.  引文格式1维护：冗余文本 (link) 如同 Korn and Korn (1961) ，但採用餘緯度 $\theta =90^{\circ }-\nu$$\theta =90^{{\circ }}-\nu$ 來替代緯度 $\nu$$\nu$ 。

• Moon PH, Spencer DE. Oblate spheroidal coordinates (η, θ, ψ). Field Theory Handbook, Including Coordinate Systems, Differential Equations, and Their Solutions corrected 2nd ed., 3rd print ed. New York: Springer Verlag. 1988: pp. 28–30 (Table 1.06). ISBN 0-387-02732-7.  引文格式1维护：冗余文本 (link) Moon and Spencer 採用餘緯度常規 $\theta =90^{\circ }-\nu$$\theta =90^{{\circ }}-\nu$ ，又改名 $\phi$$\phi$ 為 $\psi$$\psi$ 。

特異命名常規

• Landau LD, Lifshitz EM, Pitaevskii LP. Electrodynamics of Continuous Media (Volume 8 of the Course of Theoretical Physics) 2nd edition. New York: Pergamon Press. 1984: pp. 19–29. ISBN 978-0750626347.  引文格式1维护：冗余文本 (link) 視長球面坐標系為橢球坐標系的極限。