圖 1 )長球面坐標系的幾個
坐標曲面。紅色長球面的

。藍色半個雙葉雙曲面的

。黃色半平面的

(黃色半平面與 xz-半平面之間的
二面角角度是

)。z-軸是垂直的,以白色表示。 x-軸以綠色表示。三個坐標曲面相交於點 P (以黑色的圓球表示),
直角坐標大約為

。
圖 2 )兩個焦點在 z-軸的橢圓坐標系繪圖。横軸是 x-軸,豎軸是 z-軸。紅色橢圓(

-等值線)變成上圖的紅色長球面(

坐標曲面),而

青藍色雙曲線(

-等值線)則變成藍色雙葉雙曲面(

坐標曲面)。
長球面坐標系(英语:Prolate spheroidal coordinates)是一種三維正交坐標系。設定二維橢圓坐標系包含於 xz-平面;兩個焦點
與
的直角坐標分別為
與
。將橢圓坐標系繞著 z-軸旋轉,則可以得到長球面坐標系。(假若,繞著 y-軸旋轉,則可以得到扁球面坐標系。)橢圓坐標系的兩個焦點,包含於 z-軸。長球面坐標系可以被視為橢球坐標系的極限案例,其兩個最短的半軸的長度相同。
基本定義[编辑]
在三維空間裏,一個點 P 的長球面坐標
常見的定義是
、
、
;
其中,
是個實數,弧度
,弧度
。
坐標曲面[编辑]
坐標曲面是長球面:
。
每一個長球面都是由橢圓繞著 z-軸旋轉形成的。橢球面與 xz-平面的相交,是一個橢圓。沿著 x-軸,橢圓的短半軸長度為
,沿著 z-軸,橢圓的長半軸長度為
。橢圓的焦點都包含於 z-軸,z-坐標分別為
。
坐標曲面是半個旋轉雙葉雙曲面:
。
當
時,坐標曲面在 xy-平面以上;當
時,坐標曲面在 xy-平面以下。
坐標曲面是個半平面 :
。
標度因子[编辑]
長球面坐標
與
的標度因子相等:
。
方位角
的標度因子為
。
無窮小體積元素是
。
拉普拉斯算子是
。
其它微分算子,像
,
,都可以用
坐標表示,只要將標度因子代入在正交坐標系條目內對應的一般公式。
當邊界條件涉及長球面時,長球面坐標時常可以用來解析偏微分方程式。例如,位置分別在 z-軸兩個焦點的電子,會產生怎樣的靜電場?一個關於氫離子
的問題是,當移動於兩個正價的原子核中間時,一個電子的波函數是什麼?另外一個很實際的問題是,兩個小電極尖端之間的電場是什麼?極限案例包括一根電線段 (
) 產生的電場,缺了一線段的一根電線 (
) 產生的電場。
第二種表述[编辑]
圖 3 )第二種長球面坐標系

的三個
坐標曲面。紅色長球面的

坐標曲面。藍色半個旋轉雙曲面的

坐標曲面 。黃色半平面的

坐標曲面 (黃色半平面與 xz-半平面之間的
二面角角度是

)。z-軸是垂直的,以白色表示。 x-軸以綠色表示。三個坐標曲面相交於點 P (以黑色的圓球表示)。
直角坐標大約為

。
另外,還有一種比較有幾何直覺性的扁球面坐標系
:
、
、
。
其中,
是個實數,
是個實數,弧度
。
與扁球面坐標系不同,長球面坐標系並沒有簡併。在三維空間裏,長球面坐標系與直角坐標有一一對應關係:
、
、
。
坐標曲面[编辑]
坐標曲面是長球面:
。
每一個長球面都是由橢圓繞著 z-軸旋轉形成的。橢球面與 xz-平面的相交,是一個橢圓。沿著 x-軸,橢圓的短半軸長度為
,沿著 z-軸,橢圓的長半軸長度為
。橢圓的焦點都包含於 z-軸,z-坐標分別為
。
坐標曲面是半個旋轉雙曲面:
。
當
時,坐標曲面在 xy-平面以上;當
時,坐標曲面在 xy-平面以下。
坐標曲面是個半平面 :
。
任何一點 P 與焦點
,
的距離
,
,可以一個很簡單的公式表示:
、
。
所以,點 P 與焦點
的距離
是
,點 P 與焦點
的距離
是
。(回想
,
都是在 z-軸,分別位於
,
。)
標度因子[编辑]
第二種長球面坐標
的標度因子分別為:
、
、
。
無窮小體積元素是
。
拉普拉斯算子是
。
其它微分算子,像
,
,都可以用
坐標表示,只要將標度因子代入在正交坐標系條目內對應的一般公式。
如同球坐標解答的形式為球諧函數,拉普拉斯方程可以用分離變數法來求解,得到形式為長扁球諧函數的答案。假若,邊界條件涉及長球面,我們可以優先選擇這方法來解析。
參考目錄[编辑]
不按照命名常規[编辑]
- Morse PM, Feshbach H. Methods of Theoretical Physics, Part I. New York: McGraw-Hill. 1953: p. 661. 採用
、
、
。
- Zwillinger D. Handbook of Integration. Boston, MA: Jones and Bartlett. 1992: p. 114. ISBN 0-86720-293-9. 如同 Morse & Feshbach (1953) ,採用
來替代
。
- Smythe, WR. Static and Dynamic Electricity 3rd ed. New York: McGraw-Hill. 1968.
- Sauer R, Szabó I. Mathematische Hilfsmittel des Ingenieurs. New York: Springer Verlag. 1967: p. 97. 採用混合坐標
、
、
。
按照命名常規[编辑]
- Korn GA, Korn TM. Mathematical Handbook for Scientists and Engineers. New York: McGraw-Hill. 1961: p. 177. 採用第一種表述
,又加介紹了簡併的第三種表述
。
- Margenau H, Murphy GM. The Mathematics of Physics and Chemistry. New York: D. van Nostrand. 1956: p. 180–182. 如同 Korn and Korn (1961) ,但採用餘緯度
來替代緯度
。
- Moon PH, Spencer DE. Oblate spheroidal coordinates (η, θ, ψ). Field Theory Handbook, Including Coordinate Systems, Differential Equations, and Their Solutions corrected 2nd ed., 3rd print ed. New York: Springer Verlag. 1988: pp. 28–30 (Table 1.06). ISBN 0-387-02732-7. Moon and Spencer 採用餘緯度常規
,又改名
為
。
特異命名常規[编辑]
- Landau LD, Lifshitz EM, Pitaevskii LP. Electrodynamics of Continuous Media (Volume 8 of the Course of Theoretical Physics) 2nd edition. New York: Pergamon Press. 1984: pp. 19–29. ISBN 978-0750626347. 視長球面坐標系為橢球坐標系的極限。