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閉圖像定理

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閉圖像定理數學泛函分析的一條定理。

敘述[编辑]

巴拿赫空間線性算子。定義圖像的子空間

賦予範數,使得成為巴拿赫空間。那麼,這定理指連續的(與有界等價)當且僅當內是閉集。

證明[编辑]

閉圖像定理可以從開映射定理推導出來。

是閉集的充分必要條件是如果序列(即對任意),而,那麼。如果是連續的,從連續性立刻可知是閉集,因為連續性是更強的條件:如果,則

如果是閉集,可以在定義線性算子

顯然,因此是有界算子。

是巴拿赫空間中的閉子空間,所以是巴拿赫空間。也是巴拿赫空間,雙射,從而由開映射定理的系可知,其逆為有界算子。

因為,故也是有界的。

推論[编辑]

從這定理可得出黑林格-特普利茨定理──希爾伯特空間上處處定義的對稱線性算子是有界的。