闵可夫斯基不等式

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数学中,闵可夫斯基不等式Minkowski不等式)表明Lp空间是一个赋范向量空间。设是一个 度量空间,那么,我们有:

如果等号成立当且仅当,或者

闵可夫斯基不等式是中的三角不等式。它可以用赫尔德不等式来证明。和赫尔德不等式一样,闵可夫斯基不等式取可数测度可以写成序列向量的特殊形式:

对所有实数 ,这里维数;改成复数同样成立,没有任何难处。

值得指出的是,如果,则可以变为

积分形式的证明[编辑]

我们考虑次幂:

(用三角形不等式展开

(用 赫尔德不等式

(利用,因为

现在我们考虑这个不等式序列的首尾两项,除以最后那个表达式的后面那个因子,我们得到:

因为,我们最终得出:

这就是我们所要的结论。

对于序列的情况,证明是完全类似的。

参考来源[编辑]

  • 邢家省. Young不等式在Lp空间中的应用. 聊城大学学报(自然科学版). ISSN 1672-6634(2007)03-0019-04 请检查|issn=值 (帮助). 
  • 张愿章. Young不等式的证明及应用. 河南科学. ISSN 1004-3918(2004)01-0023-07 请检查|issn=值 (帮助). 
  • 匡继昌. 常用不等式. 山东科技出版社. 2004年. ISBN 7-5331-3618-7. 
  • (英)哈代(G.H.Hardy),(英)利特尔伍德(J.E.Littlewood),(美)波利亚(G.Polya)著;越民义 译. 《不等式》. 人民邮电出版社. 2008: 第二章 第十七节. ISBN 978-7-115-18802-1.