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阿基米德公理

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抽象代数分析学中,以古希腊数学家阿基米德命名的阿基米德公理亞基米德公理,也称阿基米德性质),是一些赋范的代数结构具有的一个性质。粗略地讲,它是指没有无穷大或无穷小的元素的性质。由于它出现在阿基米德的《论球体和圆柱体》的公理五,Otto Stolz赋予它这个名字。

这个概念源于古希腊对的理论;如大卫·希尔伯特的几何公理,有序群有序域局部域的理论在现代数学中仍然起着重要的作用

阿基米德公理可表述為如下的現代記法: 對於任何實數x,存在自然數nn > x

體論中,這敘述稱為阿基米德公理。

在現代實分析中,這不是一個公理。它退卻為實數具完備性的結果。基於這理由,常以實數的阿基米德性質的叫法取而代之。

形式敘述和證明[编辑]

解釋[编辑]

簡單地說,阿基米德性質可以想為以下二句敘述的任一句:

  1. 給出任何數你,總能夠挑選出一個整數大過原來的數。
  2. 給出任何正數,你總能夠挑選出一個整數其倒數小過原來的數。

對於任何實數ab,如果a < b,則存在自然數n,有a \cdot n > b

證明[编辑]

利用反證法實數完備性來證明,假設對所有nna\le b,令S=\{na|n=1,2,3,...\},則bS的上界(S上方有界,依實數完備性,必存在最小上界,令其為α),於是na\le α,\forall n = 1,2,3,...,可得(n+1)a\leα,\forall n = 1,2,3,...,這樣將會與α是S的最小上界相抵觸,因為依上式可得na\le α-a。

參看[编辑]