阿廷模

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阿廷模抽象代數中一類滿足降鏈條件的模。

定義[编辑]

以下固定一個 A。設 M 為左 A-,當 M 滿足下列,則稱 M阿廷模

對所有由 M 的子模構成的降鏈 M_1 \supset M_2 \supset \cdots,存在 N \in \mathbb N 使得 i \geq \mathbb{N} \Rightarrow M_i = M_{i+1};換言之,此降鏈將會固定。

若將上述定義中的左模換成右模,可得到右阿廷模的定義。

性質[编辑]

  • Ak-代數,任何在 k 上有限維的 A-模都是阿廷模。
  • N \subset M,且 NM/N 皆為阿廷模,則 M 為阿廷模。
  • 阿廷模的子模與商模皆為阿廷模。
  • 阿廷模與環的性質差異之一,在於有非諾特模的阿廷模,以下將給出一個例子:
M := \mathbb{Z}[1/p]/\mathbb{Z},視之為 \mathbb Z-模。升鏈
\langle 1/p \rangle \subset \langle 1/p^2 \rangle \subset \langle 1/p^3 \rangle \cdots
不會固定,因此 M 並非諾特模。然而我們知道 M 的任何子模皆形如 \langle 1/n \rangle,由此可知任何降鏈皆可寫成
\langle 1/n_1 \rangle \supset \langle 1/n_2 \rangle \supset \langle 1/n_3 \rangle \cdots
其中 n_{i+1} | n_i ,故將固定,於是 M 是阿廷模。

文獻[编辑]

  • Serge Lang, Algebra (2002), Graduate Texts in Mathematics 211, Springer. ISBN 0-387-95385-X