限制 (數學)

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在全體實數組成的集合 上定義的函數 不存在反函數。但若將其定義域限制到非負實數的集合,則該函數存在反函數,名為 算術平方根函數

數學上提及的映射的限制(英:restriction),指對於一個映射,不改變其對應關係而重新取其原定義域的子集為定義域的操作。同種概念可更一般地針對二元關係多元關係等進行定義。

由映射 到其定義域的子集 的限制所得的映射可記為

定義[编辑]

為從集合 到集合 的映射,即 的定義域為 。對於 的子集 映射 的限制(又稱 的限制函數)即為[1]

  

通俗而言, 的限制可看作雖與原映射相同,但僅在 上被定義的映射。

若設映射 為在笛卡兒積 上的關係 的限制可以其圖像表示:

  

例子[编辑]

  1. 非單射函數 的限制即為單射

  2. 階乘函數為伽瑪函數到自然數集 的限制。

性質[编辑]

  • 映射 到其定義域 的限制
  • 某限制函數到其定義域的子集的限制,與其原函數到該集合的限制相同。即若 ,則 成立。
  • 集合 上的恆等函數到子集 的限制為從 包含映射[2]
  • 連續函數的限制函數也是連續的[3][4]

應用[编辑]

反函數[编辑]

若某函數存在反函數,其映射必為單射。若映射 非單射,可以限制其定義域以定義其一部分的反函數。如:

  

因為 ,故非單射。但若將定義域限制到 時該映射為單射,此時有反函數

  

(若限制定義域至 ,輸出 的負平方根的函數為反函數。)另外,若允許反函數為多値函數,則無需限制原函數的定義域。

粘接引理[编辑]

點集拓撲學中的粘接引理聯繫了函數的連續性與限制函數的連續性。

粘接引理[编辑]

設拓撲空間 的子集 同時為開或閉,且滿足 ,設 為拓撲空間。若映射 的限制都連續,則 也是連續的。

基於此結論,粘接在拓撲空間中的開或閉集合上定義的兩個連續函數,可以得到一個新的連續函數。

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將函數的限制推廣到其他物件的限制。

層論中,拓撲空間的每個開集,有另一個範疇中的物件與之對應,其中要求滿足某些性質。最重要的性質是,若一個開集包含另一個開集,則對應的兩個物件之間有限制態射,即若,則有態射,且該些態射應仿照函數的限制,滿足下列條件:

  1. 的每個開集,限制態射上的恆等態射。
  2. 若有三個開集,則複合
  3. (局部性)若為某個開集開覆蓋,且滿足:對所有,則
  4. (黏合) 若為某個開集的開覆蓋,且對每個,給定截面,使得對任意兩個,都有在定義域重疊部分重合(即),則存在截面使得對所有

所謂拓撲空間上的,就是該些物件和態射組成的整體。若僅滿足前兩項條件,則稱為預層

出處[编辑]

  1. ^ Stoll,第5頁
  2. ^ Halmos 1960
  3. ^ Munkres 2000
  4. ^ Conrad & Franzosa 2008

參考文獻[编辑]

  • Stoll, Robert. Sets, Logic and Axiomatic Theories. W. H. Freeman and Company. 1974. 
  • Halmos, Paul, Naive Set Theory, Princeton, NJ: D. Van Nostrand Company, 1960 
  • Munkres, James R, Topology 2, Upper Saddle River: Prentice Hall, 2000 
  • Colin Conrad, Adams; David Franzosa, Robert, Introduction to topology: pure and applied, Pearson Prentice Hall, 2008