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除以零

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數學中,被除數的除數(分母)是零將某數除以零,可表達為是被除數。在算式中沒有意義,因為沒有數目,以零相乘(假設),由於任何數字乘以零均等於零,因此除以零是一個沒有定義的值。此式是否成立端視其在如何的數學設定下計算。一般實數算術中,此式為無意義。在程序設計中,當遇上正整數除以零程序會中止,正如浮點數會出現NaN值的情況,而在Microsoft Excel及Openoffice或Libreoffice的Calc中,除以零會直接顯示#DIV/0! 。

基本算術[编辑]

基本算術中,除法指將一個集合中的物件分成若干等份。例如,個蘋果平分給人,每人可得個蘋果。同理,個蘋果只分給人,則其可獨得個蘋果。

若除以又如何?若有顆蘋果,無人來分,每「人」可得多少蘋果?問題本身是無意義的,因根本無人來,論每「人」可得多少,根本多餘。因此,,在基本算術中,是無意義或未下定義的。

另種解釋是將除法理解為不斷的減法。例如「除以」,換一種說法,減去兩個,餘下,即被除數一直減去除數直至餘數數值低於除數,算式為餘數。若某數除以零,就算不斷減去零,餘數也不可能小於除數,使得算式與無窮拉上關係,超出基本算術的範疇。 此解釋也有一問題,即為無窮大以零仍是零。

早期嘗試[编辑]

婆羅摩笈多(598–668年)的著作《Brahmasphutasiddhanta》被視為最早討論零的數學和定義涉及零的算式的文本。但當中對除以零的論述並不正確,根據婆羅摩笈多,

一個正或負整數除以零,成為以零為分母的分數。零除以正或負整數是零或以零為分子、該正或負整數為分母的分數。零除以零是零。

830年,摩訶吠羅在其著作《Ganita Sara Samgraha》試圖糾正婆羅摩笈多的錯誤,但不成功:

一數字除以零會維持不變。

婆什迦羅第二嘗試解決此問題,設,雖然此定義有一定道理,但會導致一个悖論:的结果可以是任意一个数,那么就会得出所有的数都相同的错误结论。[1]

代數處理[编辑]

若某數學系統遵從的公理,則在該數學系統內除以零必須為沒有意義。這是因為除法被定義為是乘法的逆向操作,即值是方程的解(若有的話)。若設,方程式可寫成或直接。因此,方程式沒有解(当时),但是任何數值也可解此方程(当时)。在各自情況下均沒有獨一無二的數值,所以未能下定義。

除以零的謬誤[编辑]

在代數運算中不當使用除以零可得出無效證明 由:

得出:

除以零得出

簡化,得出:

以上謬論假設,就是某數除以0是容許的並且。另一个简洁的证明

,則
   
 兩邊同時减去,由平方差公式
 兩邊除以

通过上面的過程,能够证明一切数字等于。但是因为不能够除以),所以这个毁灭数字的过程不正常。

虛假的除法[编辑]

矩陣代數或線性代數中,可定義一種虛假的除法,設,當中代表的虛構倒數。這樣,若存在,則。若,則;參見广义逆

數學分析[编辑]

函數。當趨向趨向(反之亦然)

扩展的实数轴[编辑]

表面看來,可以藉着考慮隨着趨向極限而定義。對於任何正數

而對於任何負數

所以,對於正數可被定義為,而對於負數則可定義為。不過,某數也可以由負數一方(左面)趨向零,這様,對於正數定義為,對於負數定義為。由此可得(假設實數的基本性質可應用在極限上):

最終變成 ,與在扩展的实数轴上對極限賦予的標準定義不相符。唯一的辦法是用沒有正負號的無限,參見下面。

另外,利用極限的比無為提供解釋:

並不存在,而

若隨着趨向均趨向,該極限可等於任何實數或無限,或者根本不存在,視乎是何函數(參閱洛必達法則)。由此,難以被定義為一極限。

形式推算[编辑]

運用形式推算formal calculation),正號、負號或沒有正負號因情況而定,除以零定義為:

黎曼球[编辑]

集合黎曼球Riemann sphere),在複分析中相當重要。

注釋[编辑]

參考[编辑]

  • Charles Seife 2000, Zero: The Biography of a Dangerous Idea, Penguin Books, NY, ISBN 0 14 02.9647 6 (pbk.).
  • Alfred Tarski 1941 (1995 Dover edition), Introduction to Logic and to the Methodology of Deductive Sciences, Dover Publications, Inc., Mineola, New York. ISBN 0-486-28462-X (pbk.).

延伸閱讀[编辑]

參見[编辑]