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除以零

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除以0時計算器的錯誤

數學中,被除數的除數(分母)是或將某數除以零,可表達為是被除數。在算式中沒有意義,因為沒有數目,以零相乘(假設),由於任何數字乘以零均等於零,因此除以零是一個沒有定義的值。此式是否成立端視其在如何的數學設定下計算。一般實數算術中,此式為無意義。在程序設計中,當遇上正整數除以零程序會中止,正如浮點數會出現無限大或NaN值的情況,而在Microsoft ExcelOpenofficeLibreofficeCalc中,除以零會直接顯示#DIV/0! 。

基本算術[编辑]

基本算術中,除法指將一個集合中的物件分成若干等份。例如,個蘋果平分給人,每人可得個蘋果。同理,個蘋果只分給人,則其可獨得個蘋果。

若除以又如何?若有顆蘋果,無人(0解作沒有)來分,每「人」可得多少蘋果?問題本身是無意義的,因根本無人來,論每「人」可得多少,根本多餘。因此,,在基本算術中,是無意義或未下定義的。

另種解釋是將除法理解為不斷的減法。例如「除以」,換一種說法,減去兩個,餘下,即被除數一直減去除數直至餘數數值低於除數,算式為餘數。若某數除以零,就算不斷減去零,餘數也不可能小於除數,使得算式與無窮拉上關係,超出基本算術的範疇。 此解釋也有一問題,即為無窮大以零仍是零。

早期嘗試[编辑]

婆羅摩笈多(598–668年)的著作《婆羅摩曆算書英语Brahmasphutasiddhanta》被視為最早討論零的數學和定義涉及零的算式的文本。但當中對除以零的論述並不正確,根據婆羅摩笈多所說,

830年,另一位數學家摩訶吠羅英语Mahāvīra (mathematician)在其著作《Ganita Sara Samgraha》試圖糾正婆羅摩笈多的錯誤,但不成功:

婆什迦羅第二嘗試解決此問題,答案是讓。雖然此定義有一定道理,但會導致一个悖論:的结果可以是任意一个数,所以所有的数都是相同的。[1]

微積分数学分析中,像這一類極限稱為不定型。不定型是可以計算的,結果可能是任意数。

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代數處理[编辑]

若某數學系統遵從的公理,則在該數學系統內除以零必須為沒有意義。這是因為除法被定義為是乘法的逆向操作,即值是方程的解(若有的話)。若設,方程式可寫成或直接。因此,方程式沒有解(当时),但是任何數值也可解此方程(当时)。在各自情況下均沒有獨一無二的數值,所以未能下定義。

除以零的謬誤[编辑]

在代數運算中不當使用除以零可得出無效證明 由:

得出:

除以零得出

簡化,得出:

以上謬論假設,就是某數除以0是容許的並且。另一个简洁的证明

,則
兩邊同時减去,由平方差公式
兩邊除以

通过上面的過程,能够证明一切数字等于。但是因为不能够除以),所以这个毁灭数字的过程不正常。

虛假的除法[编辑]

矩陣代數或線性代數中,可定義一種虛假的除法,設,當中代表的虛構倒數。這樣,若存在,則。若,則;參見广义逆

數學分析[编辑]

函數的圖像。當x趨向0,左極限和右極限分別趨向負無限及正無限。

扩展的实数轴[编辑]

表面看來,可以藉着考慮隨着趨向來定義「除以零」 。

對於任何正數,右極限是

另一方面,左極限是

由於左極限及右極限不相同,因此函數在的極限不存在,該點沒有定義。同樣地,若是負數,極限也不存在。

如果分子及分母均為零或趨向零,則可使用洛必達法則計算。

不定型極限[编辑]

不定型(Indeterminate Form)的極限可透過四则运算洛必達法則計算。

考慮函數

如果直接代入,會得到零除以零,這是沒有意義的。

但透過約簡分子及分母,該點的極限是可以計算的。

此外,函數的極限可透過洛必達法則計算。

若隨着趨向均趨向,該極限可等於任何實數或無限,或者根本不存在,視乎是何函數。

形式推算[编辑]

運用形式推算formal calculation),正號、負號或沒有正負號因情況而定,除以零定義為:

黎曼球[编辑]

集合黎曼球Riemann sphere),在複分析中相當重要。

注釋[编辑]

  1. ^ Zero 互联网档案馆存檔,存档日期2008-12-04.

參考[编辑]

  • Charles Seife 2000, Zero: The Biography of a Dangerous Idea, Penguin Books, NY, ISBN 0 14 02.9647 6 (pbk.).
  • Alfred Tarski 1941 (1995 Dover edition), Introduction to Logic and to the Methodology of Deductive Sciences, Dover Publications, Inc., Mineola, New York. ISBN 0-486-28462-X (pbk.).

延伸閱讀[编辑]

參見[编辑]